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导数与定积分【高考数学】
题数:17
总分:113
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上传者: CX5
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导数的基本运算
导数的应用
定积分

导数的基本运算()
1

设函数 f(x)  的导数为  f′(x)  ,且   f(x)=f′(π)sin x+cos x  ,则f′(π)=_________。

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image.png正确答案

-2


image.png解析

因为f(x)=f′(π)sin x+cos x,

所以f′(x)=f′(π)cos x-sin x,

所以f′(π)=f′(π)cosπ-sinπ,

即f′(π)=-1,所以f(x)=-sin x+cos x.

f′(x)=-cos x-sin x.

故f′(π)=-cosπ-sinπ=


image.png考点

导数的基本运算

2

(16·全国)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是_________。

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image.png正确答案

2x+y+1=0


image.png解析

设x>0,则-x<0,f(-x)=ln x-3x,

又f(x)为偶函数,f(x)=ln x-3x,f′(x)=-3,f′(1)=-2,

切线方程为y=-2x-1,即2x+y+1=0.


image.png考点

导数的几何意义——求切线方程

3

已知f(x)=ln x,g(x)=x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,与f(x)图象的切点为(1,f(1)),则m等于________。

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image.png正确答案

-2


image.png解析

∵f′(x)=

∴直线l的斜率k=f′(1)=1.

又f(1)=0,∴切线l的方程为y=x-1.

g′(x)=x+m,

设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),

则有x0+m=1,y0=x0-1,y0x02+mx0,m<0,

于是解得m=-2.


image.png考点

导数的几何意义——参数的求值

4

若直线y=x是曲线y=x3-3x2+px的切线,则实数p的值为__________

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image.png正确答案

1或


image.png解析

∵y′=3x2-6x+p,

设切点为P(x0,y0),

解得image.pngimage.png


image.png考点

导数的几何意义——参数的求值



5

已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)等于______

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image.png正确答案

0


image.png解析

由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于

∴f′(3)=.

∵g(x)=xf(x),

∴g′(x)=f(x)+xf′(x),

∴g′(3)=f(3)+3f′(3),

又由题图可知f(3)=1,

∴g′(3)=1+3×()=0.


image.png考点

导数与图像的应用

6

已知曲线f(x)=xn+1(n∈N*)与直线x=1交于点P,设曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则image.png的值为_________

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image.png正确答案

-1


image.png解析

f′(x)=(n+1)xn,k=f′(1)=n+1,

点P(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),

令y=0,得image.png,即image.png

image.png

则 image.png


image.png考点

导数与切线


7

image.png,(image.png为常数)曲线image.png与直线image.png在(0,0)点相切.

(1)求image.png的值;

(2)证明:当0<x<2时,image.png

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image.png解析

(1)解 由image.png过(0,0)点,得b=-1.

image.png在(0,0)点的切线斜率为

image.png

image.png


(2)证明:当x>0时,

image.png.

image.png,则

令g(x)=(x+6)3-216(x+1),

则当0<x<2时,g′(x)=3(x+6)2-216<0.

因此g(x)在(0,2)内是递减函数,

又由g(0)=0,得g(x)<0,所以h′(x)<0.

因此h(x)在(0,2)内是递减函数,又h(0)=0,得h(x)<0.

于是当0<x<2时,image.png


image.png考点

综合应用——与不等式的应用

导数的应用()
8

若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(2,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围为________.

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image.png正确答案

(-∞,52]


image.png解析

∵f′(x)=6x2-6mx+6,

当x∈(2,+∞)时,f′(x)≥0恒成立,

即x2-mx+1≥0恒成立,∴m≤x+恒成立.

令g(x)=x+,g′(x)=1-

∴当x>2时,g′(x)>0,即g(x)在(2,+∞)上单调递增,

∴m≤2+


image.png考点

参数的求值

9

(15·陕西)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为___________

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image.png正确答案

 (1,1)


image.png解析

利用y=ex在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率,进而求得切点坐标.

由f′(x)=ex,得f′(0)=e0=1.

又y=ex在(0,1)处的切线与y=(x>0)上点P处的切线垂直,

所以点P处的切线斜率为-1.

又y′=-,设点P(x0,y0),所以-=-1,x0=±1,由x>0,得x0=1,y0=1,

所以点P的坐标为(1,1).


image.png考点

导数在平面几何中的应用

10

已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0).

(1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求a的值;

(2)求函数y=f(x)的单调区间.

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image.png解析

(1)函数f(x)的定义域为R.

由已知得image.png

∵函数y=f(x)的导函数是奇函数,

∴f′(-x)=-f′(x),

image.png,解得a=


(2)由(1)知image.png

①当a≥1时,f′(x)<0恒成立,

∴当a∈[1,+∞)时,

函数y=f(x)在R上单调递减.

②当0<a<1时,

由f′(x)>0,得(1-a)(ex+1)>1,

image.png,解得image.png

f′(x)<0,得(1a)(ex1)<1

image.png,解得image.png

∴当a∈(0,1)时,

函数y=f(x)在image.png上单调递增,image.png上单调递减.

综上,当a≥1时,f(x)在R上单调递减;

当0<a<1时,f(x)在image.png上单调递增,

在上image.png单调递减.


image.png考点

参数的求值

11

已知函数image.png

(1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极小值和极大值点;

(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.

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image.png解析

(1)当x<1时,f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),

令f′(x)=0,解得x=0或x=.

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,0)

0

(0,)


(,1)

f′(x)

0

0

f(x)

极小值

极大值

故当x=0时,函数f(x)取得极小值f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=.

(2)①当-1≤x<1时,由(1)知,函数f(x)在[-1,0]和[,1)上单调递减,在[0,]上单调递增.

因为f(-1)=2,f()=,f(0)=0,

所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2.

②当1≤x≤e时,f(x)=aln x,

当a≤0时,f(x)≤0;

当a>0时,f(x)在[1,e]上单调递增,

则f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a.

故当a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为a;

当a<2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为2.


image.png考点

函数的极值与最值

12

(15·四川)已知函数image.png,其中image.png

(Ⅰ)设g(x)是f=(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;

(Ⅱ)证明:存在image.png,使得image.png在区间image.png内恒成立,且image.png在区间image.png内有唯一解。

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image.png解析

(1)二次求导后,进行讨论。(2)先假设存在,再通过求导,结合函数的单调性,证明存在性。

由已知,函数的定义域为image.png

所以image.png

所以image.png

image.png单调递减;

image.png单调递增。


(2)image.png,由(1)得image.pngimage.png上单调递增,且image.pngimage.png

由零点存在定理知存在唯一的image.png使得image.png.

所以当image.png 时,image.png单调递减;

image.png时,image.png单调递增.

image.png,所以满足image.png在区间image.png内有唯一解

即当image.png时,image.png

image.png,结合①式解得image.png.

image.png,显然image.png单调递减,image.pngimage.png

由零点存在定理知储存在image.png使得image.png,即image.png成立.

由①式可得image.png,解得image.png

从而结论得证.


image.png考点

导数与函数的综合应用

定积分()
13

计算:=___________

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image.png正确答案

π


image.png解析

由定积分的几何意义知,表示圆(x-1)2+y2=4和x=1,x=3,y=0围成的图形的面积,

×π×4=π.


image.png考点

利用定积分的几何意义求值

14

由曲线y=2x2,直线y=-4x-2,直线x=1围成的封闭图形的面积为________.

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image.png正确答案

image.png


image.png解析

image.png解得x=-1,依题意可得,

所求的封闭图形的面积为image.png

image.png


image.png考点

利用定积分求封闭图形的面积

15

由直线x=-π,x=π,y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为________.

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image.png正确答案


image.png解析

所求面积

image.png


image.png考点

利用定积分求封闭图形的面积

16

 (15·陕西)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为___________

image.png

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image.png正确答案

1.2


image.png解析

建立直角坐标系,求出抛物线方程,然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积 ,求出梯形面积,即可推出结果.

如图:image.png


建立平面直角坐标系,设抛物线说明: 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!方程为:y=ax2,因为抛物线经过(5,2),可得a=,

所以抛物线方程:y=x2,

横截面为等腰梯形的水渠,泥沙沉积的横截面的面积为:

image.png

等腰梯形的面积为:,当前最大流量的横截面的面积为

原始的最大流量与当前最大流量的比值为:


image.png考点

定积分在物理中的应用

17

以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为__________.

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image.png正确答案


image.png解析

v=40-10t2=0,t=2,

image.png


image.png考点

定积分在物理中的应用


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