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初等函数1【高考数学】
题数:20
总分:123
浏览数:0
上传者: CX5
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函数的定义域
函数的解析式
函数的单调性
函数的值
函数的奇偶性
函数的周期性
函数图像的判断

函数的定义域()
1

 (16湖北)函数image.png的定义域为 (  )

A、

(2,3)

B、

(2,4]

C、

(2,3)∪(3,4]     

D、

(-1,3)∪(3,6]

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image.png正确答案

C


image.png解析

被开方数非负,真数大于零,分母不等于零

由函数y=f(x)的表达式可知,函数的定义域应满足条件: 

image.png


解得-4≤ x ≤4,x >3或2< x <3,

即函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4].


image.png考点

函数的定义域——构建不等式(组)解函数解析式求其定义域




2

(13全国)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x-1)的定义域为()

A、

(-1,1)

B、

image.png

C、

(-1,0)

D、

image.png

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image.png正确答案

B


image.png解析

【解析】令u=2x-1,由f(x)的定义域为(-1,0)可知-1<u<0,即-1<2x-1<0,

得-1< x <


image.png考点

函数定义域


3

已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=________.

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image.png正确答案

2x+7


image.png解析

用待定系数法求函数解析式

设f(x)=ax+b(a≠0),

则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b,

即ax+5a+b=2x+17,不论x为何值都成立,

image.png


∴f(x)=2x+7.


image.png考点

函数的解析式

函数的解析式()
4

已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=(  )

A、

f(x)=x2+6x

B、

f(x)=x2+8x+7

C、

f(x)=x2+2x-3

D、

 f(x)=x2+6x-10

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image.png正确答案

A


image.png解析

令x-1=t,则x=t+1

所以f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5= t 2+6t

因此,f(x)=x2+6x


image.png考点

函数的解析式——换元法求函数的解析式

5

(14 陕西)如图所示,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为(   )

image.png

A、

 

B、

C、

D、

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image.png正确答案


image.png解析

找出关键信息,按照排除法,排出不合理的选项。

分析图像,找出图像的关键信息。

由题意可得出,此三次函数在x=±5处的导数为0,下依次特征寻找正确选项:
A选项,导数为


image.png考点

函数解析式——排除法                                            


6

已知f(+1)=lg x,则f(x)=________.

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image.png正确答案

lg(x>1)


image.png解析

用换元法求解函数时,一定要注意前后定义域的变化,函数 t=g(x) 的值域就是函数 f(t) 的定义域。

令t=+1(t>1),则x=

∴f(t)=lg ,即f(x)=lg (x>1).


image.png考点

函数的定义域——换元法

7

(16上海)已知点(3,9)在函数f(x)=ax+1的图像上,则  f(x)的反函数f'(x)=__________ .

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image.png正确答案

log2 (x-1)


image.png解析

由题意a3+1=9.故a=2,从而f(x)=2x+1,

所以x=log2 (y-1).故 f'(x)=log2 (x-1).


image.png考点

反函数问题

8

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.

(1)求证:f(x)是周期函数;

(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;

(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 017).

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image.png解析

利用周期性特点,求出f(x)的解析式

 (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).

∴f(x)是周期为4的周期函数.

(2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],

∴4-x∈[0,2],

∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8,

又f(4-x)=f(-x)=-f(x),

∴-f(x)=-x2+6x-8,

即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

(3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.

又f(x)是周期为4的周期函数,

∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)

=…=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0.

∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 017)=f(2 016)+f(2 017)=f(0)+f(1)=1.


image.png考点

函数的解析式

函数的单调性()
9

(15湖南)设函数法f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()

A、

奇函数,且在(0,1)上是增函数

B、

奇函数,且在(0,1)上是减函数

C、

偶函数,且在(0,1)上是增函数

D、

偶函数,且在(0,1)上是减函数

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image.png正确答案

A


image.png解析

 由已知f(x)=的定义域为(-1,1),关于原点对称.

又因为image.png,所以f(x) 为奇函数.

image.png,当image.png时,f'(x)>0,即f(x) 在(-1,1)上为增函数.故选A.


image.png考点——函数的单调性定义法


10

(17山东)若函数exf(x)( e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)  的定义域上单调递增,则称 函数f(x)具有 M.下列函数中所有具有 M性质的函数的序号为 _________.

①f(x)=2-x       ②f(x)=3-x      ③f(x)=x3       ④f(x)=x2+2

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image.png正确答案

①④


image.png解析

函数的单调性考查比较灵活,该题型是一种新题型,但是只要学会方法,就能轻松应对。

利用排除法。

①  image.png在R上单调递增,故image.png具有M性质;

image.png在R上单调递减,故image.png不具有R性质;

image.png,令image.png,则image.png

所以当image.png时,image.png;当image.png时,image.png,所以image.pngimage.png上单调递减,在image.png上单调递增,故image.png不具有M性质;

image.png.令image.png

image.png,所以image.png在R上单调递增,故image.png具有M性质.

综上所述,具有M性质的函数的序号为①④.


image.png考点

函数的点调性


函数的值()
11

(13辽宁)已知函数  image.png,则image.png=(   )

A、

-1

B、

0

C、

1

D、

2

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image.png正确答案

D


image.png解析

image.png

image.png

image.png

image.png

image.png


image.png考点

准确理解函数概念和性质,熟悉对数的运算性质


12

(2015浙江)已知函数 image.png,则 image.png=_________,image.png的最小值是 __________.

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image.png正确答案

0   


image.png解析

f(f(-3))=f(lg 10)=f(1)=1+2-3=0

当 x ≥1时,f(x)min= <0;

当 x <1时,f(x)min=f(0)=0.

综上,f(x)min=,所以f(f(-3))=0,f(x)min=.


image.png考点

函数表达式——利用分段函数表达式,逐步求值.

13

( 15厦门)函数f(x)=-log(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.

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image.png正确答案

3


image.png解析

 由于y=在R上递减,y=log(x+2)在[-1,1]上递增,

所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.


image.png考点

函数的单调性——单调性法

14

(17北京)已知函数 f(x)=excos x-x

(Ⅰ)求曲线 y= f(x)在点 (0,f(0)) 处的切线方程;

(Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [0,image.png]上的最大值和最小值.

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image.png解析

能够利用导数法求解函数的导数,根据单调性求出函数的最值

(Ⅰ)  f(x)=excos x - x , f'(x)=ex(cos x - sin x)-1

∴曲线 y= f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线斜率为k=e0(cos0 - sin0)-1=0

切点为(0,1),∴曲线 y= f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程为y=1 。

(Ⅱ) f'(x)=ex(cos x - sin x)-1,

令g (x)=f'(x),则g'(x) =ex(cos x-sin x -sin x - cos x)= -2ex


image.png,可得g'(x) =-2ex ≤ 0,

即有g (x) 在[0,image.png]上单调递减,可得g(x)≤ 0,

所以f (x) 在[0,image.png]上单调递减,

所以函数f (x) 在区间[0,image.png]上的最大值为f(0)=e0cos 0 - 0=1;

最小值为f (image.png)=eimage.pngcos image.png - image.png= -image.png


image.png考点

函数的单调性

函数的奇偶性()
15

15安徽)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()

A、

y=cosx

B、

y=sinx

C、

y=lnx

D、

y=x2+1

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image.png正确答案

A


image.png解析

掌握函数的奇偶性。函数的奇偶性的考察常常出现在选择题,主要是判断函数的奇偶性、函数的图像判断等。

对于选项A,y=cosx是偶函数,且由cosx=0得image.pngimage.png

故A正确;对于选项B,y=sinx是奇函数,故B错误;

对于选项C,y=lnx的定义域为image.png,故y=lnx不具备奇偶性,故C错误;

对于选项D,y=x2+1是偶函数,但x2+1=0在实数范围内无解,即y=x2+1不存在零点,故D错误.故选A.


image.png考点

函数的奇偶性——定义法、排除法

函数的周期性()
16

(16浙江)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期()

A、

与b有关,且与c有关

B、

与b有关,但c无关 

C、

与b无关,且与c无关 

D、

与b无关,但c有关

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image.png正确答案

B


image.png解析

 由image.pngimage.png

y=cos2x 的最小正周期为π,y=sinx的最小正周期为2π.

当b=0时,image.png,此时f(x)的最小正周期是π;

当b≠0时,此时f(x)的最小正周期为2π,所以b影响f(x)的最小正周期,

而c为常数项不影响f(x)的最小正周期.


image.png考点

函数的周期性——定义法

17

(17江苏)设  f(x)是定义在R且周期为1的函数,在区间[0,1)上,image.png.其中集合image.png,则方程  f(x)-lg x=0 的解的个数是__________ .

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image.png正确答案

8


image.png解析


由题意image.png,所以只需要研究x在[0,10)内的根的情况.

在此范围内, image.pngimage.png时,设 image.png,且 p,q互质,

image.png,则由 image.png,可设 image.png,且 m,n互质.

从而image.png,则 image.png,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此 image.png,于是lg x不可能与image.png内的部分对应相等,

所以只需要考虑lg x 与每个周期内image.png部分的交点.

如图所示,通过函数的草图分析,图中交点除(0,1)外,其它交点均为image.png的部分.

且当x=1时,image.png,所以在 x=1附近只有一个交点,

因而方程解的个数为8个.故填8.

image.png


image.png考点

函数的周期性

18

(16天津)已知函数 image.png.

(1)求 f(x) 的定义域与最小正周期;

(2)讨论 f (x) 在区间image.png上的单调性.

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image.png解析

函数的多种性质会放在一起考察,如单调性、周期性、奇偶性,这就要求考生必须熟知函数的性质。

(1)f (x) 的定义域为image.png.

image.png

=image.png

=image.png


所以f(x)的最小正周期T=π.

(2)令image.png,函数y= 2sin z的单调递增区间是image.png.

image.pngimage.png ≤image.png,得image.png ≤ x ≤image.png

设X∈image.png ,则此时X∈image.png

image.png

所以当X∈image.png时,f(x) 在区间image.png上单调递增, 在区间image.png上单调递减.


image.png考点

函数的单调性

函数图像的判断()
19

( 15安徽)函数的图像如图所示,则下列结论成立的是(   .

image.png

A、

a>0,b>0,c<0

B、

a<0,b>0,c>0

C、

a<0,b>0,c<0

D、

a<0,b>0,c<0

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image.png正确答案

C


image.png解析

由题可得x≠-c,所以-c>0,即c<0.

令x=0,则f(0)=>0,以b>0.

令y=0,则ax+b=0,所以x=>0,所以a<0.


image.png考点

函数的图像——分析法

20

(16全国)函数在[-2,2]的图像大致为(   )

A、

image.png

B、

image.png

C、

image.png

D、

image.png

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image.png正确答案

D


image.png解析

image.png ,由image.png,可排除A(小于0),

B(从趋势上超过1);又image.png时,image.pngimage.png

所以f(x)在(0,1)上不是单调函数,排除C.

故选D.


image.png方法

排除法,利用函数性质排除


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