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集合和逻辑用语【高考数学】
题数:21
总分:105
浏览数:0
上传者: CX5
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求集合元素的个数
求集合子集的个数
集合的运算
集合中参数运算问题
集合的新定义
逻辑

求集合元素的个数()
1

(11·广东)已知集合A={ (x,y)|x,y为实数,且x2+y2=l},B={(x,y) |x,y为实数,且y=x},  则A ∩ B的元素个数为(    )

A、

0

B、

1

C、

2

D、

3

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image.png正确答案

C


image.png解析

A表示圆心在原点的单位圆,B表示过原点的直线。画出的图形如图所示:由图可知有2个交点,1-1.png

故A ∩ B中共有2个元素


image.png考点

利用数形结合法

2

已知集合A ={(x,y)| y = x2 +2},B ={(x,y)| y = x},则A ∩ B中的元素个数为( )

A、

0

B、

1

C、

2

D、

3

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image.png正确答案

A


image.png解析

熟悉掌握函数的图象特征,结合图象确定集合中元素的个数。

集合A表示函数y = x2 +2的图象上的点,而集合B表示函数y = x图象上的点,如图,分别作出两函数的图象。

                                               image.png

由图可知,两函数图象无交点,所以A ∩ B中的元素个数为0



image.png考点

求集合元素的个数——数形结合法

3

已知集合A ={(x,y)| y = x2 +1},B ={(x,y)| y = m},若A ∩ B中至少有1个元素,则实数m的取值范围 ________。

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image.png正确答案

m≥1


image.png解析

根据题意做出函数y = x2 +1与y = m的的图像,有图象可知,当m≥1时,A ∩ B中有1个元素。

image.png

                                               

image.png考点

求集合元素的个数——数形结合法

求集合子集的个数()
4

(江西)若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z= x +y,x∈A,y∈B }中的元素的个数为()

A、

5

B、

4

C、

3

D、

2

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image.png正确答案

C


image.png解析

集合中的元素具有互异性,所以写出的集合必须经过检验。 

当x =-1,y =0时,z =-1

当x =-1,y =2时,z =1

当x= 1,y =0时,z =1

当x= 1,y =2时,z=3

故z的值为-1,1,3

所以{z|z= x +y,x∈A,y∈B }={1,-1,1,3}共有三个元素。


image.png考点

求集合元素的个数——列举法

集合的运算()
5

(11·辽宁)已知M,N为 I 集合的非空真子集,且M,N不相等,若N ∩ ∁UM=∅,则 M∪N=(   )

A、

M

B、

N

C、

I

D、

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image.png正确答案

A


image.png解析

结合韦恩图,利用子集关系求解.image.png

如图,因为N∩∁UM=∅,所以,

解决此类问题的关键是准确用Venn图表示各个集合及集合之间的相互关系。

第一步:画Venn图。用Venn图表示出相应的集合,注意公共元素的处理

第二步:明运算。明确集合间的基本运算形式,区分交集、并集、补集

第三步:写结果。根据Venn图示求出运算结果


image.png考点

集合的运算——数形结合法

6

 (15·北京)设集合 A={x|-5<x<2},  B={x|-3<x<3},则 A∩B =(  )

A、

{x|-3<x<2}

B、

{x|-5<x<2}

C、

{x|-3<x<3}     

D、

{x|-5<x<3}

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image.png正确答案

A


image.png解析

根据题意作图:

image.png

得A∩B={x|-3<x<2}.



image.png考点

集合——集合的运算

7

(重庆)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B= _________。

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image.png正确答案

{7,9}


image.png解析

求集合的运算问题时,要善于从问题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处要用好集合的运算与性质。

依题意得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

UA={4,6,7,9,10}

(∁UA)∩B={7,9}


image.png考点

集合的运算——列举法

8

已知集合A={x|x2-11x-12<0},B={x|x=2(3n+1),n∈Z},则A∩B=_______。

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image.png正确答案

{2,8}


image.png解析

因为集合A={x|x2-11x-12<0}={ x|-1<x<12}集合B中的元素为被6整除余数为2的数,集合A中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,故被6整除余数为2的数有2,8,所以A∩B={2,8}


image.png考点

集合的运算——列举法

9

(10·福建)若集合A= { x |1 ≤ x ≤ 3} ,B={ x | x > 2},则  A ∩ B =___________。

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image.png正确答案

{ x |2 < x ≤ 3}


image.png解析

 画出数轴,数形结合求解,注意临界点的取舍.

由数轴可知:image.png

A ∩ B ={ x |2 < x ≤ 3}

数轴法主要用于求解连续型无限集的基本运算问题。

第一步:化简。根据已知条件化集合为最简形式

第二步:画数轴。将集合在数轴上表示出来

第三步:得结果。观察图形及所求,利用图形的直观性求得运算结果,将其写成集合的形式


image.png考点

集合的运算——数形结合法

10

设函数f(x)=lg(1-x2),集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)},则图中阴影部分表示的集合为__________

image.png

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image.png正确答案

(-∞,-1]∪(0,1)


image.png解析

破题切入点 弄清“集合”代表的是函数的定义域还是值域.如何求其定义域或值域?

因为A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1}.

则u=1-x2∈(0,1],

所以B={y|y=f(x)}={y|y≤0},A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0],

题图阴影部分表示的集合为(A∩∁RB)∪(B∩∁RA)

=(0,1)∪(-∞,-1].


image.png考点

集合——集合的运算

集合中参数运算问题()
11

若集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-2<x<a},则“A∩B≠∅”的充要条件是(  )

A、

a>-2    

B、

a≤-2

C、

a>-1 

D、

a≥-1

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image.png正确答案

C

image.png解析

A={x|-1<x<2},B={x|-2<x<a},

如图所示:image.png


∵A∩B≠∅,∴a>-1.


image.png考点

集合中参数运算问题



12

(13·上海)设常数a∈R,集合image.png,B=image.png.若A∪B=R,则a的取值范围为(  )

A、

(-∞,2)

B、

(-∞,2]  

C、

(2,+∞)  

D、

[2,+∞)

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image.png正确答案

B


image.png解析

方法1:代值法、排除法.

当a=1时,A=R,符合题意;

当a=2时,因为B=[1,+∞),A=(-∞,1]∪[2,+∞)

所以A∪B=R,符合题意.

综上,选B.

方法2:数形结合法

因为B=[a-1,+∞),A∪B=R,所以A⊇(-∞,a-1),

(x-1)(x-a)≥0⇒当a=1时,x∈R,当a=1时符合题意;

当a>1时,A=(-∞,1]∪[a,+∞)⇒1≥a-1解得1<a≤2;

当a<1时,A=(-∞,a]∪[1,+∞)⇒a≥a-1⇒a<1.

综上,a≤2.


image.png考点

集合中参数的运算问题

13

已知集合A={x|ax+1=0},B={x|x2-x-56=0},且A⊆B,由实数a组成的集合C.则符合条件的实数a组成的集合是________。

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image.png正确答案

image.png


image.png解析

通过计算,得出集合B={-7,8}

若A=∅,则方程x+1=0无解,=0;

若A≠∅,则image.png

因为A⊆B,所以=8或者=7

解得=,或=

因此符合条件的实数a组成的集合是{0,}


image.png考点

求解集合中的参数值

集合的新定义()
14

(10·福建)设非空集合S={x | m ≤ x ≤l }满足:当x∈S时,有x2∈S.给出如下三个命题:①若m=1,则S={1};②若m=-,则≤  l ≤ 1;③若l=,则≤ m ≤ 0.其中正确命题的个数是(    )

A、

0

B、

1

C、

2

D、

3

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image.png正确答案

D


image.png解析

对于①,当m=1时,image.png,所以image.png

又因为image.png,所以 l2≤l,则0≤ l ≤1.

又因为l≥1,所以l=1,因此①正确;


对于 ②,当image.png时,image.png

(1)当≤l≤0时,则image.png,不满足image.png

(2)当0<l≤时,则image.png

又因为image.png,所以image.png,因此image.png

(3)当l>时,则image.png,又因image.png,l2≤l,所以0≤ l ≤1

综上述:image.png,因此②正确;

对于③,当l=时,image.png

(1)当image.png时, image.png,又因为image.png,m2说明: 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!≥m ,所以m说明: 学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!≥1,或者m≤0,所以m=1

(2)当image.png时, image.png,显然image.png

(3)当image.png时, image.png,又因为image.png,所以m2 ,因此≤m≤

综上述:image.png,③正确.


逻辑()
15

(15·湖北)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是 (         )

A、

∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1

B、

∀x∉(0,+∞),lnx=x-1

C、

∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1

D、

∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1

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image.png正确答案

A


image.png解析

由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1.


image.png考点

求否命题

16

不等式组image.png的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D, x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是(  )

A、

p2,p3

B、

p1,p 

C、

p1,p4

D、

p1,p3

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image.png正确答案

B


image.png解析

画出不等式组image.png的可行域D如图阴影部分所示,两直线交于点A(2,-1),

设直线l0的方程为x+2y=0.

由图象可知,∀(x,y)∈D,x+2y≥0,

故p1为真命题,p2为真命题,p3,p4为假命题.

image.png


image.png考点

真假命题

17

已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=()x-m,若对∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是(  )

A、

0<m<

B、

<m<

C、

m≥

D、

m≥

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image.png正确答案

C


image.png解析

当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,

当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=-m,

由f(x)min≥g(x)min,得0≥-m,所以m≥


image.png考点

参数的求值

18

以下四个命题:①∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②∃x∈Q,x2-1>0;③∃x∈R,x2+1=0;④∀x∈R,x2>2x-1

.其中真命题的个数为(  )

A、

0

B、

1

C、

2

D、

3

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image.png正确答案

A


image.png解析

∵x2-3x+2>0,Δ=(-3)2-4×2>0,

∴当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,

∴①为假命题;


当且仅当x<-1或者x>1时,x2-1>0,

∴不存在x∈Q,使得x2-1>0,∴②为假命题;


对∀x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题;


x2-(2x-1)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,

即当x=1时,x2=2x-1成立,

∴④为假命题.

∴①②③④均为假命题.


image.png考点

判断真假命题

19

(16·四川)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足image.png则p是q的(  )

A、

必要不充分条件 

B、

充分不必要条件


C、

充要条件

D、

既不充分也不必要条件

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image.png正确答案

A


image.png解析

取x=y=0满足条件p,但不满足条件q,

反之,对于任意的x,y满足条件q,

显然必满足条件p,所以p是q的必要不充分条件,

故选A.

20

(15·北京)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“mβ”是“αβ”的(  )

A、

充分而不必要条件

B、

必要而不充分条件

C、

充分必要条件

D、

既不充分也不必要条件

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image.png正确答案

B


image.png解析

当mβ时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,

因而mβ Dαβ;当αβ时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以mβ.

综上知,“mβ”是“αβ”的必要而不充分条件.

21

 (15•山东)若“∀x∈image.png,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.

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image.png正确答案

1


image.png解析

∵函数y=tan x在image.png上是增函数,

∴ymax=tanimage.png =1.

依题意,m≥ymax,即m≥1.

∴m的最小值为1.


image.png考点

真假命题


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