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2018年高考真题 文科数学 (天津卷)
题数:20
总分:150
浏览数:0
上传者: X11
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一、选择题
二、填空题
三、解答题

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一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。)
1

设集合wps4662.tmp.pngwps4663.tmp.pngwps4674.tmp.png,则wps4675.tmp.png (  )

A、

wpsD4CB.tmp.png

B、

wps1E78.tmp.png

C、

wps4AA9.tmp.png

D、

wps73DD.tmp.png

【答案解析】
关闭

正确答案

C


解析

解:∵A={1,2,3,4},B={﹣1,0,2,3},

∴(A∪B)={1,2,3,4}∪{﹣1,0,2,3}={﹣1,0,1,2,3,4},

又C={x∈R|﹣1≤x<2},

∴(A∪B)∩C={﹣1,0,1}.

故选:C.

2

设变量wps10F4.tmp.png满足约束条件wps10F5.tmp.png则目标函数wps10F6.tmp.png的最大值为(  )

A、

6

B、

19

C、

21

D、

45

【答案解析】
关闭

正确答案

C


解析

解:由变量x,y满足约束条件image.png

得如图所示的可行域,由image.png解得A(2,3).

当目标函数z=3x+5y经过A时,直线的截距最大,

z取得最大值.

将其代入得z的值为21,

故选:C.

image.png

3

设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的(  )

A、

充分而不必要条件

B、

必要而不充分条件

C、

充要条件

D、

既不充分也不必要条件

【答案解析】
关闭

正确答案

A


解析

解:由x3>8,得x>2,则|x|>2,

反之,由|x|>2,得x<﹣2或x>2,

则x3<﹣8或x3>8.

即“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要条件.

故选:A.

4

阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入wps4431.tmp.png的值为20,则输出wps4432.tmp.png的值为(  )

wps4442.tmp.jpg 

A、

1

B、

2

C、

3

D、

4

【答案解析】
关闭

正确答案

B


解析

解:若输入N=20,

则i=2,T=0,image.png=image.png=10是整数,满足条件.T=0+1=1,i=2+1=3,i≥5不成立,

循环,image.png=image.png不是整数,不满足条件.,i=3+1=4,i≥5不成立,

循环,image.png=image.png=5是整数,满足条件,T=1+1=2,i=4+1=5,i≥5成立,

输出T=2,

故选:B.

5

已知wpsBCDA.tmp.png,则wpsBCDB.tmp.png的大小关系为(  )

A、

wpsFE3A.tmp.png

B、

wps3EEE.tmp.png

C、

wps77B2.tmp.png

D、

wps9C13.tmp.png

【答案解析】
关闭

正确答案

D


解析

解:∵a=log3image.png,c=logimage.pngimage.png=log35,且5image.png

image.png

则b=(image.pngimage.pngimage.png

∴c>a>b.

故选:D.

6

将函数wps76B5.tmp.png的图象向右平移wps76B6.tmp.png个单位长度,所得图象对应的函数(  )

A、

在区间wpsBB52.tmp.png 上单调递增

B、

在区间wpsF445.tmp.png 上单调递减

C、

在区间wps21BE.tmp.png 上单调递增

D、

在区间wps50BF.tmp.png 上单调递减

【答案解析】
关闭

正确答案

A


解析

解:将函数y=sin(2x+image.png)的图象向右平移image.png个单位长度,

所得图象对应的函数解析式为y=sin[2(x﹣image.png)+image.png]=sin2x.

当x∈[image.png]时,2x∈[image.pngimage.png],函数单调递增;

当x∈[image.pngimage.png]时,2x∈[image.png,π],函数单调递减;

当x∈[﹣image.png,0]时,2x∈[﹣image.png,0],函数单调递增;

当x∈[image.png,π]时,2x∈[π,2π],函数先减后增.

故选:A.

7

已知双曲线wps2B9F.tmp.png 的离心率为2,过右焦点且垂直于wps2BA0.tmp.png轴的直线与双曲线交于wps2BA1.tmp.png两点.设wps2BA2.tmp.png到双曲线的同一条渐近线的距离分别为wps2BA3.tmp.pngwps2BA4.tmp.png,且wps2BB4.tmp.png 则双曲线的方程为(  )

A、

wps128B.tmp.png

B、

wps322A.tmp.png

C、

wps54C6.tmp.png

D、

wps7678.tmp.png

【答案解析】
关闭

正确答案

A


解析

解:由题意可得图象如图,CD是双曲线的一条渐近线

y=image.png,即bx﹣ay=0,F(c,0),

AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,ACDB是梯形,

F是AB的中点,EF=image.png=3,

EF=image.png=b,

所以b=3,双曲线image.pngimage.png=1(a>0,b>0)的离心率为2,可得image.png

可得:image.png,解得a=image.png

则双曲线的方程为:image.pngimage.png=1.

故选:A.

image.png

8

在如图的平面图形中,已知wpsA13E.tmp.png,wpsA14E.tmp.pngwpsA14F.tmp.png的值为(  )

wpsA150.tmp.jpg 

A、

-15

B、

-9

C、

-6

D、

0

【答案解析】
关闭

正确答案

C


解析

解:不妨设四边形OMAN是平行四边形,

由OM=1,ON=2,∠MON=120°,image.png=2image.pngimage.png=2image.png

image.png=image.pngimage.png=3image.png﹣3image.png=﹣3image.png+3image.png

image.pngimage.png=(﹣3image.png+3image.png)•image.png

=﹣3image.png+3image.pngimage.png

=﹣3×12+3×2×1×cos120°

=﹣6.

故选:C.

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.)
9

i是虚数单位,复数wps7D64.tmp.png=              

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【答案解析】
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正确答案

4–i


解析

解:image.png=image.png=image.png=image.png=4﹣i

10

已知函数f(x)=exlnx,f (x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为               

填写答案:
【答案解析】
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正确答案

e


解析

解:函数f(x)=exlnx,

则f′(x)=exlnx+image.png•ex

∴f′(1)=e•ln1+1•e=e.

11

如图,已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1,则四棱柱A1–BB1D1D的体积为             

wps90F3.tmp.jpg 

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【答案解析】
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正确答案

wps7375.tmp.png


解析

解:由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形,边长:1和image.png

四棱锥的高:image.pngA1C1=image.png

则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为:image.png=wps7375.tmp.png

image.png 

12

在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为            

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【答案解析】
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正确答案

(x﹣1)2+y2=1(或x2+y2﹣2x=0).


解析

解:【方法一】根据题意画出图形如图所示,

结合图形知经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆,

其圆心为(1,0),半径为1,

则该圆的方程为(x﹣1)2+y2=1.

【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

image.png

解得D=﹣2,E=F=0;

∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0.

image.png 

13

已知a,b∈R,且a–3b+6=0,则2a+wps93EB.tmp.png的最小值为            

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【答案解析】
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正确答案

wps1FEF.tmp.png


解析

解:a,b∈R,且a﹣3b+6=0,

可得:3b=a+6,

则2a+image.png=image.png=image.png≥2image.png=image.png

当且仅当2a=image.png.即a=﹣3时取等号.

函数的最小值为:image.png

14

已知a∈R,函数wps7F08.tmp.png若对任意x∈[–3,+wps7F09.tmp.png),f(x)≤wps7F0A.tmp.png恒成立,则a的取值范围是             

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正确答案

wps3144.tmp.png,2]


解析

解:当x≤0时,函数f(x)=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1,抛物线开口向上,

要使x≤0时,对任意x∈[﹣3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,

则只需要f(﹣3)≤|﹣3|=3,

即9﹣6+a﹣2≤3,得a≤2,

当x>0时,要使f(x)≤|x|恒成立,即f(x)=﹣x2+2x﹣2a,则直线y=x的下方或在y=x上,

由﹣x2+2x﹣2a=x,即x2﹣x+2a=0,由判别式△=1﹣8a≤0,

得a≥image.png

综上image.png≤a≤2

image.png

三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15

(本小题满分13分)

已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?

(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.

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正确答案

见解析


解析

(Ⅰ)解:由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.

(Ⅱ)(i)解:从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.

(ii)解:由(Ⅰ),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.

所以,事件M发生的概率为P(M)=wpsD1BA.tmp.png

16

(本小题满分13分)

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B–wpsF78E.tmp.png).

(Ⅰ)求教B的大小;

(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A–B)的值.

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解析

(Ⅰ)解:在△ABC中,由正弦定理wpsA6EA.tmp.png,可得wpsA6EB.tmp.png,又由wpsA6EC.tmp.png,得wpsA6ED.tmp.png,即wpsA6EE.tmp.png,可得wpsA6FE.tmp.png.又因为wpsA6FF.tmp.png,可得B=wpsA700.tmp.png

(Ⅱ)解:在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=wpsA701.tmp.png,有wpsA712.tmp.png,故b=wpsA713.tmp.png

wpsA714.tmp.png,可得wpsA715.tmp.png.因为a<c,故wpsA716.tmp.png.因此wpsA727.tmp.pngwpsA728.tmp.png 

所以,wpsA729.tmp.pngwpsA72A.tmp.png 

17

(本小题满分13分)

如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2image.png,∠BAD=90°.

(Ⅰ)求证:AD⊥BC;

(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;

(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.

wpsE60B.tmp.jpg 

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解析

(Ⅰ)由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.

(Ⅱ)解:取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.

wpsA257.tmp.jpg 

在Rt△DAM中,AM=1,故DM=wpsA258.tmp.png.因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.

在Rt△DAN中,AN=1,故DN=wpsA259.tmp.png

在等腰三角形DMN中,MN=1,可得wpsA25A.tmp.png

所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为wpsA26A.tmp.png

(Ⅲ)解:连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=wpsA26B.tmp.png.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CMwpsA26C.tmp.png平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.

在Rt△CAD中,CD=wpsA26D.tmp.png=4.

在Rt△CMD中,wpsA27E.tmp.png

所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为wpsA27F.tmp.png

18

(本小题满分13分)

设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6

(Ⅰ)求Sn和Tn

(Ⅱ)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.

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解析

(I)解:设等比数列wps4DB6.tmp.png的公比为q,由b1=1,b3=b2+2,可得wps4DB7.tmp.png.

因为wps4DC7.tmp.png,可得wps4DC8.tmp.png,故wps4DC9.tmp.png.所以wps4DCA.tmp.png.

设等差数列wps4DCB.tmp.png的公差为wps4DCC.tmp.png.由wps4DDD.tmp.png,可得wps4DDE.tmp.png.由wps4DDF.tmp.png,可得wps4DE0.tmp.png 从而wps4DE1.tmp.png,故wps4DE2.tmp.png,所以wps4DF2.tmp.png.

(II)解:由(I),知wps4DF3.tmp.png 

wps4DF4.tmp.png可得wps4DF5.tmp.png

整理得wps4DF6.tmp.png 解得wps4E07.tmp.png(舍),或wps4E08.tmp.png.所以n的值为4. 

19

(本小题满分14分)

设椭圆wpsA379.tmp.png 的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为wpsA37A.tmp.pngwpsA37B.tmp.png.

(I)求椭圆的方程;

(II)设直线wpsA38B.tmp.png与椭圆交于wpsA38C.tmp.png两点,wpsA38D.tmp.png与直线wpsA39E.tmp.png交于点M,且点P,M均在第四象限.若wpsA39F.tmp.png的面积是wpsA3A0.tmp.png面积的2倍,求k的值.

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解析

(I)解:设椭圆的焦距为2c,由已知得wps8477.tmp.png,又由wps8478.tmp.png,可得wps8479.tmp.png 由wps8489.tmp.png,从而wps848A.tmp.png.

所以,椭圆的方程为wps848B.tmp.png.

(II)解:设点P的坐标为wps848C.tmp.png,点M的坐标为wps848D.tmp.png ,由题意,wps849E.tmp.png

wps849F.tmp.png的坐标为wps84A0.tmp.png 由wps84B1.tmp.png的面积是wps84B2.tmp.png面积的2倍,可得wps84B3.tmp.png

从而wps84B4.tmp.png,即wps84B5.tmp.png.

易知直线wps84C5.tmp.png的方程为wps84C6.tmp.png,由方程组wps84C7.tmp.png 消去y,可得wps84D8.tmp.png.由方程组wps84D9.tmp.png消去wps84DA.tmp.png,可得wps84DB.tmp.png.由wps84DC.tmp.png,可得wps84EC.tmp.png,两边平方,整理得wps84ED.tmp.png,解得wps84EE.tmp.png,或wps84EF.tmp.png.

wps8500.tmp.png时,wps8501.tmp.png,不合题意,舍去;当wps8502.tmp.png时,wps8503.tmp.pngwps8514.tmp.png,符合题意.

所以,wps8515.tmp.png的值为wps8516.tmp.png.

20

(本小题满分14分)

设函数wps6AB9.tmp.png,其中wps6ABA.tmp.png,且wps6ABB.tmp.png是公差为wps6ABC.tmp.png的等差数列.

(I)若wps6ABD.tmp.png 求曲线wps6ACE.tmp.png在点wps6ACF.tmp.png处的切线方程;

(II)若wps6AD0.tmp.png,求wps6AD1.tmp.png的极值;

(III)若曲线wps6AD2.tmp.png 与直线 wps6AD3.tmp.png有三个互异的公共点,求d的取值范围.

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(Ⅰ)解:由已知,可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x,故f‵(x)=3x−1,因此f(0)=0,wps1A79.tmp.png=−1,又因为曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y−f(0)= wps1A79.tmp.png (x−0),故所求切线方程为x+y=0.

(Ⅱ)解:由已知可得

f(x)=(x−t2+3)( x−t2) (x−t2−3)=( x−t2)3−9 ( x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x− t22+9t2.

wps1A7B.tmp.png= 3x3−6t2x+3t22−9.令wps1A7B.tmp.png=0,解得x= t2wps1ABE.tmp.png,或x= t2+wps1ABE.tmp.png.

当x变化时,f‵(x),f(x)的变化如下表:

blob.png

所以函数f(x)的极大值为f(t2wps1ABE.tmp.png)=(−wps1ABE.tmp.png)3−9×(−wps1ABE.tmp.png)=6wps1ABE.tmp.png;函数小值为f(t2+wps1ABE.tmp.png)=(wps1ABE.tmp.png)3−9×(wps1ABE.tmp.png)=−6wps1ABE.tmp.png.

(III)解:曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6wps1ABE.tmp.png有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 6wps1ABE.tmp.png=0有三个互异的实数解,令u= x−t2,可得u3+(1−d2)u+6wps1ABE.tmp.png=0.

设函数g(x)= x3+(1−d2)x+6wps1ABE.tmp.png,则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6wps1ABE.tmp.png有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.

wps1AD4.tmp.png=3 x3+(1−d2).

当d2≤1时,wps1AD4.tmp.png≥0,这时wps1AD4.tmp.png在R上单调递增,不合题意.

当d2>1时,wps1AD4.tmp.png=0,解得x1=wps1AE4.tmp.png,x2=wps1AE5.tmp.png.

易得,g(x)在(−∞,x1)上单调递增,在[x1, x2]上单调递减,在(x2, +∞)上单调递增,

g(x)的极大值g(x1)= g(wps1AE6.tmp.png)=wps1AE7.tmp.png>0.

g(x)的极小值g(x2)= g(wps1AE8.tmp.png)=−wps1AE9.tmp.png.

若g(x2) ≥0,由g(x)的单调性可知函数y=f(x)至多有两个零点,不合题意.

wps1AFA.tmp.pngwps1AFB.tmp.png,也就是wps1AFC.tmp.png,此时wps1AFD.tmp.pngwps1AFE.tmp.png 且wps1AFF.tmp.png,从而由wps1B0F.tmp.png的单调性,可知函数wps1B10.tmp.png 在区间wps1B11.tmp.png内各有一个零点,符合题意.

所以wps1B12.tmp.png的取值范围是wps1B13.tmp.png


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