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2018年高考真题 数学 (浙江卷)
题数:22
总分:150
浏览数:0
上传者: CXA
用时 150:00
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一、选择题
二、填空题
三、解答题

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一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1

已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA=(  )

A、

B、

{1,3}

C、

{2,4,5}

D、

{1,2,3,4,5}

【答案解析】
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正确答案

C


解析

解:根据补集的定义,∁UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合,由已知,有且仅有2,4,5符合元素的条件.

UA={2,4,5}

故选:C.

2

双曲线image.png﹣y2=1的焦点坐标是(  )

A、

(﹣image.png,0),(image.png,0)

B、

(﹣2,0),(2,0)

C、

(0,﹣image.png),(0,image.png

D、

(0,﹣2),(0,2)

【答案解析】
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正确答案

B


解析

解:∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上,且a2=3,b2=1,

由此可得c=image.png=2,

∴该双曲线的焦点坐标为(±2,0)

故选:B.

3

某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(  )

image.png

A、

2

B、

4

C、

6

D、

8

【答案解析】
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正确答案

C


解析

解:根据三视图:该几何体为底面为直角梯形的四棱柱.

如图所示:image.png

故该几何体的体积为:V=image.png

故选:C.

4

复数image.png(i为虚数单位)的共轭复数是(  )

A、

1+i

B、

1﹣i

C、

﹣1+i

D、

﹣1﹣i

【答案解析】
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正确答案

B


解析

解:化简可得z=image.png

=image.png=1+i,

∴z的共轭复数image.png=1﹣i

故选:B.

5

函数y=2|x|sin2x的图象可能是(  )

A、

image.png

B、

image.png

C、

image.png

D、

image.png

【答案解析】
关闭

正确答案

D


解析

解:根据函数的解析式y=2|x|sin2x,得到:函数的图象为奇函数,

故排除A和B.

当x=image.png时,函数的值也为0,

故排除C.

故选:D.

6

已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的(  )

A、

充分不必要条件

B、

必要不充分条件

C、

充分必要条件

D、

既不充分也不必要条件

【答案解析】
关闭

正确答案

A


解析

解:∵m⊄α,n⊂α,

∴当m∥n时,m∥α成立,即充分性成立,

当m∥α时,m∥n不一定成立,即必要性不成立,

则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.

故选:A.

7

设0<p<1,随机变量ξ的分布列是

image.png

则当p在(0,1)内增大时,(  )

A、

D(ξ)减小

B、

D(ξ)增大

C、

D(ξ)先减小后增大

D、

D(ξ)先增大后减小

【答案解析】
关闭

正确答案

D


解析

解:设0<p<1,随机变量ξ的分布列是

E(ξ)=0×image.png+1×image.png+2×image.png=p+image.png

方差是D(ξ)=image.png×image.png+image.png×image.png+image.png×image.png

=﹣p2+p+image.png

=﹣image.png+image.png

∴p∈(0,image.png)时,D(ξ)单调递增;

p∈(image.png,1)时,D(ξ)单调递减;

∴D(ξ)先增大后减小.

故选:D.

8

已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3,则(  )

A、

θ1≤θ2≤θ3

B、

θ3≤θ2≤θ1

C、

θ1≤θ3≤θ2

D、

θ2≤θ3≤θ1

【答案解析】
关闭

正确答案

D


解析

解:∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心.

过E作EF∥BC,交CD于F,过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N,

连接SN,

取CD中点M,连接SM,OM,OE,则EN=OM,

则θ1=∠SEN,θ2=∠SEO,θ3=∠SMO.

显然,θ1,θ2,θ3均为锐角.

∵tanθ1=image.png=image.png,tanθ3=image.png,SN≥SO,

∴θ1≥θ3

又sinθ3=image.png,sinθ2=image.png,SE≥SM,

∴θ3≥θ2

故选:D.

image.png

9

已知image.pngimage.pngimage.png是平面向量,image.png是单位向量.若非零向量image.pngimage.png的夹角为image.png,向量image.png满足image.png﹣4image.pngimage.png+3=0,则|image.pngimage.png|的最小值是(  )

A、

image.png﹣1

B、

image.png+1

C、

2

D、

2-image.png

【答案解析】
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正确答案

A


解析

解:由image.png﹣4image.pngimage.png+3=0,得image.png

∴(image.png)⊥(image.png),

如图,不妨设image.png

image.png的终点在以(2,0)为圆心,以1为半径的圆周上,

又非零向量image.pngimage.png的夹角为image.png,则image.png的终点在不含端点O的两条射线y=image.png(x>0)上.

不妨以y=image.png为例,则|image.pngimage.png|的最小值是(2,0)到直线image.png的距离减1.

image.png

故选:A.

image.png

10

已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),若a1>1,则(  )

A、

a1<a3,a2<a4

B、

a1>a3,a2<a4

C、

a1<a3,a2>a4

D、

a1>a3,a2>a4

【答案解析】
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正确答案

B


解析

解:a1,a2,a3,a4成等比数列,由等比数列的性质可知,奇数项符号相同,偶数项符号相同,

a1>1,设公比为q,

当q>0时,a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3,a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),不成立,

即:a1>a3,a2>a4,a1<a3,a2<a4,不成立,排除A、D.

当q=﹣1时,a1+a2+a3+a4=0,ln(a1+a2+a3)>0,等式不成立,所以q≠﹣1;

当q<﹣1时,a1+a2+a3+a4<0,ln(a1+a2+a3)>0,a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立,

当q∈(﹣1,0)时,a1>a3>0,a2<a4<0,并且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),能够成立,

故选:B.

二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。)
11

(6分)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则image.png,当z=81时,x=     ,y=     

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正确答案

8;11.


解析

解:image.png,当z=81时,化为:image.png

解得 x=8,y=11.

12

(6分)若x,y满足约束条件image.png,则z=x+3y的最小值是         ,最大值是         

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正确答案

﹣2;8.


解析

解:作出x,y满足约束条件image.png表示的平面区域,

如图:

其中B(4,﹣2),A(2,2).

设z=F(x,y)=x+3y,

将直线l:z=x+3y进行平移,观察直线在y轴上的截距变化,

可得当l经过点B时,目标函数z达到最小值.

∴z最小值=F(4,﹣2)=﹣2.

可得当l经过点A时,目标函数z达到最最大值:

z最大值=F(2,2)=8.

image.png

13

(6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=image.png,b=2,A=60°,则sinB=     ,c=     

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正确答案

image.png,3.


解析

解:∵在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

a=image.png,b=2,A=60°,

∴由正弦定理得:image.png,即image.png=image.png

解得sinB=image.png=image.png

由余弦定理得:

cos60°=image.png

解得c=3或c=﹣1(舍),

∴sinB=image.png,c=3.

14

(4分)二项式(image.png+image.png8的展开式的常数项是         

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正确答案

7


解析

解:由image.png=image.png

image.png=0,得r=2.

∴二项式(image.png+image.png)8的展开式的常数项是image.png

15

(6分)已知λ∈R,函数f(x)=image.png,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是       .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是        

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正确答案

{x|1<x<4};(1,3].


解析

解:当λ=2时函数f(x)=image.png,显然x≥2时,不等式x﹣4<0的解集:{x|2≤x<4};x<2时,不等式f(x)<0化为:x2﹣4x+3<0,解得1<x<2,综上,不等式的解集为:{x|1<x<4}.

函数f(x)恰有2个零点,

函数f(x)=image.png的草图如图:

函数f(x)恰有2个零点,则λ∈(1,3].

image.png 

16

(4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成        个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

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正确答案

1260


解析

解:从1,3,5,7,9中任取2个数字有image.png种方法,

从2,4,6,0中任取2个数字不含0时,有image.png种方法,

可以组成image.png=720个没有重复数字的四位数;

含有0时,0不能在千位位置,其它任意排列,共有image.png=540,

故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数.

17

(4分)已知点P(0,1),椭圆image.png+y2=m(m>1)上两点A,B满足image.png=2image.png,则当m=           时,点B横坐标的绝对值最大.

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正确答案

5


解析

解:设A(x1,y1),B(x2,y2),

由P(0,1),image.png=2image.png

可得﹣x1=2x2,1﹣y1=2(y2﹣1),

即有x1=﹣2x2,y1+2y2=3,

又x12+4y12=4m,

即为x22+y12=m,①

x22+4y22=4m,②

①﹣②得(y1﹣2y2)(y1+2y2)=﹣3m,

可得y1﹣2y2=﹣m,

解得y1=image.png,y2=image.png

则m=x22+(image.png2

即有x22=m﹣(image.png)2=image.png=image.png

即有m=5时,x22有最大值16,

即点B横坐标的绝对值最大.

三、解答题(本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
18

(14分,每小题7分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣image.png,﹣image.png).

(Ⅰ)求sin(α+π)的值;

(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=image.png,求cosβ的值.

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正确答案

见解析


解析

解:(Ⅰ)∵角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(﹣image.png,﹣image.png).

∴x=﹣image.png,y=﹣image.png,r=|OP|=image.png

∴sin(α+π)=﹣sinα=image.png

(Ⅱ)由x=﹣image.png,y=﹣image.png,r=|OP|=1,

image.pngimage.png

又由sin(α+β)=image.png

image.png=image.png

则cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=image.png

或cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=image.png

∴cosβ的值为image.pngimage.png

19

(15分)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=l,AB=BC=B1B=2.

(Ⅰ)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(7分)

(Ⅱ)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.(8分)

image.png

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正确答案

见解析


解析

(I)证明:∵A1A⊥平面ABC,B1B⊥平面ABC,

∴AA1∥BB1

∵AA1=4,BB1=2,AB=2,

∴A1B1=image.png=2image.png

又AB1=image.png=2image.png,∴AA12=AB12+A1B12

∴AB1⊥A1B1

同理可得:AB1⊥B1C1

又A1B1∩B1C1=B1

∴AB1⊥平面A1B1C1

(II)解:取AC中点O,过O作平面ABC的垂线OD,交A1C1于D,

∵AB=BC,∴OB⊥OC,

∵AB=BC=2,∠BAC=120°,∴OB=1,OA=OC=image.png

以O为原点,以OB,OC,OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:

则A(0,﹣image.png,0),B(1,0,0),B1(1,0,2),C1(0,image.png,1),

image.png=(1,image.png,0),image.png=(0,0,2),image.png=(0,2image.png,1),

设平面ABB1的法向量为image.png=(x,y,z),则image.png

image.png,令y=1可得image.png=(﹣image.png,1,0),

∴cos<image.png>=image.png=image.png=image.png

设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ,则sinθ=|cos<image.png>|=image.png

∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为image.png

image.png 

20

(15分)已知等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1﹣bn)an}的前n项和为2n2+n.

(Ⅰ)求q的值;(7分)

(Ⅱ)求数列{bn}的通项公式.(8分)

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解析

解:(Ⅰ)等比数列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项,

可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4

解得a4=8,

image.png+8+8q=28,可得q=2(image.png舍去),

则q的值为2;

(Ⅱ)设cn=(bn+1﹣bn)an=(bn+1﹣bn)2n﹣1

可得n=1时,c1=2+1=3,

n≥2时,可得cn=2n2+n﹣2(n﹣1)2﹣(n﹣1)=4n﹣1,

上式对n=1也成立,

则(bn+1﹣bn)an=4n﹣1,

即有bn+1﹣bn=(4n﹣1)•(image.pngn﹣1

可得bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1

=1+3•(image.png0+7•(image.png1++(4n﹣5)•(image.pngn﹣2

image.pngbn=image.png+3•(image.png)+7•(image.png2++(4n﹣5)•(image.pngn﹣1

相减可得image.pngbn=image.png+4[(image.png)+(image.png2++image.pngn﹣2]﹣(4n﹣5)•(image.pngn﹣1

=image.png+4•image.png﹣(4n﹣5)•(image.pngn﹣1

化简可得bn=15﹣(4n+3)•(image.pngn2

21

(15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.

(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(7分)

(Ⅱ)若P是半椭圆x2+image.png=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.(8分)

image.png

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解析

解:(Ⅰ)证明:可设P(m,n),A(image.png,y1),B(image.png,y2),

AB中点为M的坐标为(image.pngimage.png),

抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上,

可得(image.png2=4•image.png

image.png2=4•image.png

化简可得y1,y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根,

可得y1+y2=2n,y1y2=8m﹣n2

可得n=image.png

则PM垂直于y轴;

(Ⅱ)若P是半椭圆x2+image.png=1(x<0)上的动点,

可得m2+image.png=1,﹣1≤m<0,﹣2<n<2,

由(Ⅰ)可得y1+y2=2n,y1y2=8m﹣n2

由PM垂直于y轴,可得△PAB面积为S=image.png|PM|•|y1-y2|

=image.pngimage.png﹣m)•image.png

=[image.png•(4n2﹣16m+2n2)﹣image.pngm]•image.png

=image.png(n2﹣4m)image.png

可令t=image.png=image.png

=image.png

可得m=﹣image.png时,t取得最大值image.png

m=﹣1时,t取得最小值2,

即2≤t≤image.png

则S=image.pngt3在2≤t≤image.png递增,可得S∈[6image.pngimage.pngimage.png],

△PAB面积的取值范围为[6image.pngimage.png].

image.png 

22

(15分)已知函数f(x)=image.png﹣lnx.

(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2;(7分)

(Ⅱ)若a≤3﹣4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点(8分)

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解析

证明:(Ⅰ)∵函数f(x)=image.png﹣lnx,

∴x>0,f′(x)=image.pngimage.png

∵f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,

image.png=image.pngimage.png

∵x1≠x2,∴image.png+image.png=image.png

由基本不等式得:image.png=image.pngimage.png

∵x1≠x2,∴x1x2>256,

由题意得f(x1)+f(x2)=image.png=image.png﹣ln(x1x2),

设g(x)=image.png,则image.png

∴列表讨论:

image.png

∴g(x1x2)>g(256)=8﹣8ln2,∴g(x)在[256,+∞)上单调递增,

∴f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2.

(Ⅱ)令m=e﹣(|a|+k),n=(image.png2+1,

则f(m)﹣km﹣a>|a|+k﹣k﹣a≥0,

f(n)﹣kn﹣a<n(image.pngimage.png﹣k)≤n(image.png﹣k)<0,

∴存在x0∈(m,n),使f(x0)=kx0+a,

∴对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点,

由f(x)=kx+a,得k=image.png

设h(x)=image.png,则h′(x)=image.png=image.png

其中g(x)=image.png﹣lnx,

由(1)知g(x)≥g(16),

又a≤3﹣4ln2,∴﹣g(x)﹣1+a≤﹣g(16)﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0,

∴h′(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,

∴方程f(x)﹣kx﹣a=0至多有一个实根,

综上,a≤3﹣4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.


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