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2018年高考真题 理科数学 (北京卷)
题数:20
总分:150
浏览数:0
上传者: CX8
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一、选择题
二、填空题
三、解答题

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一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。)
1

已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则Ablob.pngB=(      )

A、

{0,1}              

B、

{-1,0,1}

C、

{-2,0,1,2}           

D、

{-1,0,1,2}

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正确答案

A


解析

解:A={x||x|<2}={x|﹣2<x<2},B={﹣2,0,1,2},

则A∩B={0,1},

故选:A.

2

在复平面内,复数image.png的共轭复数对应的点位于(      )

A、

第一象限                  

B、

第二象限     

C、

第三象限                  

D、

第四象限 

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正确答案

D


解析

解:复数image.png=image.png=image.png

共轭复数对应点的坐标(image.png,﹣image.png)在第四象限.

故选:D.

3

执行如图所示的程序框图,输出的S值为(      )

1528455023369294.png

A、

image.png

B、

image.png

C、

image.png

D、

image.png

【答案解析】
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正确答案

B


解析

解:在执行第一次循环时,k=1,S=1.

在执行第一次循环时,S=1﹣image.png=image.png

由于k=2≤3,

所以执行下一次循环.S=image.png

k=3,直接输出S=image.png

故选:B.

4

“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献,十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于image.png,若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(      )

A、

image.pngf

B、

image.pngf

C、

image.pngf

D、

image.pngf

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正确答案

D


解析

解:从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于image.png

若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为:image.png=image.png

故选:D.

5

某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(      )

blob.png

A、

1

B、

2

C、

3

D、

4

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正确答案

C


解析

解:四棱锥的三视图对应的直观图为:PA⊥底面ABCD,

AC=image.png,CD=image.png

PC=3,PD=2image.png,可得三角形PCD不是直角三角形.

所以侧面中有3个直角三角形,分别为:△PAB,△PBC,

△PAD.

故选:C.

image.png

6

image.png,image.png均为单位向量,则“|image.png﹣3image.png|=|3image.png+image.png|”是“image.pngimage.png”的(      )

A、

 充分而不必要条件

B、

必要而不充分条件 

C、

充分必要条件     

D、

既不充分也不必要条件

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正确答案

C


解析

解:∵“|image.png﹣3image.png|=|3image.png+image.png|”

∴平方得|image.png|2+9|image.png|2﹣6image.pngimage.png=|image.png|2+9|image.png|2+6image.pngimage.png

image.pngimage.png=0,即image.pngimage.png

则“|image.png﹣3image.png|=|3image.png+image.png|”是“image.pngimage.png”的充要条件,

故选:C.

7

在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x﹣my﹣2=0的距离,当θ,m变化时,d的最大值为(      )

A、

1

B、

2

C、

3

D、

4

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正确答案

C


解析

解:由题意d=image.png=image.png,tanα=﹣image.png

∴当sin(θ+α)=﹣1时,

dmax=1+image.png≤3.

∴d的最大值为3.

故选:C.

8

设集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2},则(  )

A、

对任意实数a,(2,1)∈A

B、

对任意实数a,(2,1)∉A

C、

当且仅当a<0时,(2,1)∉A

D、

当且仅当a≤image.png时,(2,1)∉A

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正确答案

D


解析

解:当a=﹣1时,集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2}={(x,y)|x﹣y≥1,﹣x+y>4,x+y≤2},显然(2,1)不满足,﹣x+y>4,x+y≤2,所以A,C不正确;

当a=4,集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2}={(x,y)|x﹣y≥1,4x+y>4,x﹣4y≤2},显然(2,1)在可行域内,满足不等式,所以B不正确;

故选:D.

二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分。)
9

设{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为              

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an=6n﹣3.


解析

解:∵{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,

image.png

解得a1=3,d=6,

∴an=a1+(n﹣1)d=3+(n﹣1)×6=6n﹣3.

∴{an}的通项公式为an=6n﹣3.

10

在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切,则a=          

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正确答案

1+image.png


解析

解:圆ρ=2cosθ,

转化成:ρ2=2ρcosθ,

进一步转化成直角坐标方程为:(x﹣1)2+y2=1,

把直线ρ(cosθ+sinθ)=a的方程转化成直角坐标方程为:x+y﹣a=0.

由于直线和圆相切,

所以:利用圆心到直线的距离等于半径.

则:image.png=1,

解得:a=1±image.png.a>0

则负值舍去.

故:a=1+image.png

11

设函数f(x)=cos(ωx﹣image.png)(ω>0),若f(x)≤f(image.png)对任意的实数x都成立,则ω的最小值为          

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正确答案

image.png


解析

解:函数f(x)=cos(ωx﹣image.png)(ω>0),若f(x)≤f(image.png)对任意的实数x都成立,

可得:image.png,k∈Z,解得ω=image.png,k∈Z,ω>0

则ω的最小值为:image.png

12

若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是             

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3


解析

解:作出不等式组对应的平面区域如图:

设z=2y﹣x,则y=image.pngx+image.pngz,

平移y=image.pngx+image.pngz,

由图象知当直线y=image.pngx+image.pngz经过点A时,

直线的截距最小,此时z最小,

image.pngimage.png,即A(1,2),

此时z=2×2﹣1=3

image.png

13

能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是            

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f(x)=sinx.


解析

解:例如f(x)=sinx,

尽管f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,

当x∈[0,image.png)上为增函数,在(image.png,2]为减函数.

14

已知椭圆M:image.png+image.png=1(a>b>0),双曲线N:image.pngimage.png=1. 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率             ;双曲线N的离心率为           

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image.png;2.


解析

解:椭圆M:image.png+image.png=1(a>b>0),双曲线N:image.pngimage.png=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,

可得椭圆的焦点坐标(c,0),正六边形的一个顶点(image.pngimage.png),可得:image.png,可得image.png,可得e4﹣8e2+4=0,e∈(0,1),

解得e=image.png

同时,双曲线的渐近线的斜率为image.png,即image.png

可得:image.png,即image.png

可得双曲线的离心率为e=image.png=2.

三、解答题(共6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。)
15

(13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-image.png
(Ⅰ)求∠A:

(Ⅱ)求AC边上的高。

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正确答案

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解析

(1)∵在△ABC中,cosB=blob.png

∴B为钝角

sinB=blob.png             (3分)

blob.png,a=7,b=8            (4分)

得sinA=blob.png

∴A=blob.png                            (6分)

(2)过B作BD⊥AC,即BD为AC边上的高

又∵在△ABC中

sinC=sin(A+B)

=sinAcosB+cosAsinB

=blob.png                      (9分)

又∵sinC=blob.png

∴BD=BC sinC

=blob.png

=blob.png

∴AC边上的高为blob.png        (13分)

16

(14分)如图,在三菱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC。 D,E,F,G分别为AA1,AC, A1C1 , BB1的中点,AB=BC=image.png,AC=AA1=2。

blob.png 

(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF:

(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值:
(Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交。

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解析

(1)由题意可知:

∵CC1⊥面ABC,E、F分别为AC、A1C1的中点

∴EF//CC1                                               

∴EF⊥面ABC                   (2分)

∵ACblob.png面ABC

∴EF⊥AC

又∵AB=BC,E为中点

∴BE⊥AC

  BEblob.pngEF=E

∴AC⊥面BEF                     (4分)

(1)由题意可知,以E为坐标原点,分别以EA,EB,EF为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系

E(0,0,0)   A(1,0,0)  C(-1,0,0)  B(0,2,0)   A1(1,0,2)  C1(-1,0,2)  D(1,0,1)   B1(0,2,2)

易知 BE⊥面ACC1A1

∴设面CC1D的法向量blob.png=(0,1,0)

设面BCD的法向量blob.png=(x,y,z)    (6分)

blob.png=(-1,-2,0)   blob.png=(2,0,1)

blob.png   令x=2,blob.png=(2,-1,-4)      (8分)

记二面角B-CD-C1的半面角为θ,可知θ为钝角

|cosθ|=blob.png

∴cosθ=blob.png              (10分)


(1)G(0,2,1)  F(0,0,2)

     blob.png=(0,2,-1)            (12分)

由(2)可知面BCD的法向量为blob.png(2,1,4)

∴证FG与面BCD所成的角为α

则sinα=blob.png

∴FG与面BCD相交             (14分)

17

(12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:image.png

好评率是指:一类电影中获得好评的指数与该页电影的部数的比值

假设所有电影是否获得好评相互独立。

(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;

(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢.“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.

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解析

(1)电影公司收集电影有:140+50+300+200+510=2000(部)               (1分)

获得好评第四类电影有:200×0.25=50(部)                             (2分)

∴随机选取1部电影是获得好评的第四类电影概率为:blob.png   (4分)

(2)法一:第四类好评有200×0.25=50(部)         (5分)

第五类好评有800×0.2=160(部)                 (6分)

设事件A:恰有1部 获得好评.

blob.png        (9分)

法二:设事件A1 :第四类获得好评,P(A)=0.25           (5分)

事件A2 :第五类获得好评,P(A)=0.2                     (6分)

事件B: 恰有1部获得好评,

blob.png(9分)

(3)blob.png                    (12分)

18

(13分)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3] ex.

(I)若曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线与X轴平行,求a:

(II)若f(x)在x=2处取得最小值,求a的取值范围。

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解析

(1)blob.png                                              (2分)

blob.png                            (2分)

∵y=f(x)在点(1,f(1))处切线与x轴平行

∴f’(1)=0                                            (3分)

∴a=1                                                 (4分)

(1)得f’(2)=0 恒成立,所以f(2)是极值点                (5分)

①当a=0时,g(x)=-x+2,f(2)为极值,不符题意             (7分)

当a≠0时,blob.png

证:g(x)对称轴方程blob.png

10当a=blob.png时,△=0 f(x)无极值点                       (9分)

20blob.png 即blob.png     (11分)

30blob.png     blob.png,f(2)为极小值 (12分)  

综上所述,满足题意blob.png (13分)

19

(14分)已知抛物线C: y2 =2px经过点p(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.

  (Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;

  (Ⅱ)设O为原点,image.pngimage.png ,image.pngimage.png,求证:image.png +image.png为定值.

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解析

(1)抛物线 y2=2px经过点p(1,2)

∴2p=4  p=2 ∴y2=4x                            (2分)

易知α的斜线k存在且不为0.设α的方斜为y=kx+1

blob.png  (kx+1)2-2px=0

∴k2x2+(2k-2p)x+1=0                            (3分)

∵α与轴物线c有两个不同的交点 故ê>0

ê=(2k-4)2-4k=16-16k>0                          (4分)

∴k<1 且k≠0                                   (5分)

(2)blob.png,(xm,ym-1)=blob.png

同理,blob.png 设A(x1,y1) B(x2,y2)

直线PA的方程blob.png

blob.png

令x=0,blob.png 同理可得blob.png   (9分)

blob.png

=blob.png

=blob.png

=blob.png   (11分)

=blob.png

 而blob.png   

blob.png(14分)

20

(14分)设n为正整数,集合A=, blob.png ,对于集合A中的任意元素blob.png=blob.pngblob.png,记

M(blob.png)=blob.png [(blob.png)]+(blob.png)+......+(blob.png)]

(Ⅰ)当n=3时,若blob.pngblob.png(0,1,1),求M(blob.png)和M(blob.png)的值;
(Ⅱ)当n=4时,设B是A的子集,且满足;对于B中的任意元素α β,当α β相同时,M(α,β)是奇数;当α β不相同时,M(α,β)是偶数,求集合B中元素个数的最大值;

(Ⅲ)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足;对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0,写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由

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解析

解:blob.png

所以 blob.png

那么blob.png

(1)blob.png    (2分)

blob.png         (2分)


(2)当n=4时,blob.png blob.png为奇数  blob.png

blob.png 故x1+x2+x3+x4=1或3    (6分)

所以B中元素只可能为

(1,0,0,0),(0,1,0,0) (0,0,1,0),(0,0,0,1)

(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)    (7分)

但(1,0,0,0),与(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)不能共存

所以B中元素至多只有4个           (9分)


(3)给出集合B.blob.png

blob.png  

易知B中注意两个不同的元素,blob.png,1≤i≠j≤n+1

任取blob.pngblob.png  β=(x1,x2,......xnblob.png,1≤i≤n,

则M(blob.png)=1,故B中不能再增加元素                          (14分)


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