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2018年高考真题 文科数学 (全国Ⅱ卷)
题数:22
总分:150
浏览数:0
上传者: X11
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一、选择题
二、填空题
三、解答题

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一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。)
1

i(2+3i)=(  )

A、

3-2i

B、

3+2i

C、

-3-2i

D、

-3+2i

【答案解析】
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正确答案

D


解析

i(2+3i)=2i+3i2=﹣3+2i.

故选:D.

2

已知集合A={1,3,5,7}.    B={2,3,4,5}.  则A∩B=(  )

A、

{3}

B、

{5}

C、

{3,5}

D、

{1,2,3,4,5,7}

【答案解析】
关闭

正确答案

C


解析

∵集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},

∴A∩B={3,5}.

故选:C.

3

函数∫(X)=e ²-e-x/x ²的图像大致为(  )

A、

image.png

B、

image.png

C、

image.png

D、

image.png

【答案解析】
关闭

正确答案

B


解析

函数f(﹣x)=wpsF71B.tmp.jpg=﹣wpsF71C.tmp.jpg=﹣f(x),

则函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A,

当x=1时,f(1)=e﹣wpsF71D.tmp.jpg>0,排除D.

当x→+∞时,f(x)→+∞,排除C,

故选:B.

4

已知向量a,b满足∣a∣=1,awpsD49E.tmp.pngb=wpsD49F.tmp.png1,则awpsD4B0.tmp.png(2awpsD4B1.tmp.pngb)=(  )

A、

4

B、

3

C、

2

D、

0

【答案解析】
关闭

正确答案

B


解析

向量wpsDBB2.tmp.jpgwpsDBB3.tmp.jpg满足|wpsDBC3.tmp.jpg|=1,wpsDBC4.tmp.jpgwpsDBD5.tmp.jpg=﹣1,则wpsDBD6.tmp.jpg•(2wpsDBD7.tmp.jpgwpsDBE8.tmp.jpg)=2wpsDBE9.tmp.jpgwpsDBEA.tmp.jpg=2+1=3,

故选:B.

5

从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为(  )

A、

0.6

B、

0.5

C、

0.4

D、

0.3

【答案解析】
关闭

正确答案

D


解析

(适合理科生)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,共有C52=10种,其中全是女生的有C32=3种,

故选中的2人都是女同学的概率P=wpsAB1D.tmp.jpg=0.3,

(适合文科生),设2名男生为a,b,3名女生为A,B,C,

则任选2人的种数为ab,aA,aB,aC,bA,bB,Bc,AB,AC,BC共10种,其中全是女生为AB,AC,BC共3种,

故选中的2人都是女同学的概率P=wpsAB1E.tmp.jpg=0.3,

故选:D.

6

双曲线wpsA8C1.tmp.png(a>0.b>0)的离心率为wpsA8C2.tmp.png,则其渐近线方程为(  )

A、

y=±wpsEB1.tmp.png×

B、

y=±wps51E5.tmp.png×

C、

y=±wps88A6.tmp.png

D、

y=±wpsCB9B.tmp.png

【答案解析】
关闭

正确答案

A


解析

∵双曲线的离心率为e=wpsD305.tmp.jpg=wpsD315.tmp.jpg

wpsD316.tmp.jpg=wpsD317.tmp.jpg=wpsD328.tmp.jpg=wpsD329.tmp.jpg=wpsD32A.tmp.jpg=wpsD32B.tmp.jpg

即双曲线的渐近线方程为y=±wpsD33C.tmp.jpgx=±wpsD33D.tmp.jpgx,

故选:A.

7

在∆ABC中,coswpsED2.tmp.png=wpsD0B3.tmp.png,BC=1,  AC=5,则AB=(  )

A、

wps656A.tmp.png

B、

wpsAD9F.tmp.png

C、

wps2A6.tmp.png

D、

wps6103.tmp.png

【答案解析】
关闭

正确答案

A


解析

在△ABC中,coswpsBC49.tmp.jpg=wpsBC5A.tmp.jpg,cosC=2×wpsBC5B.tmp.jpg=﹣wpsBC5C.tmp.jpg

BC=1,AC=5,则AB=wpsBC5D.tmp.jpg=wpsBC5E.tmp.jpg=wpsBC6E.tmp.jpg=4wpsBC6F.tmp.jpg

故选:A.

8

为计算S=1wps7D8F.tmp.pngwps7D90.tmp.png,设计了如下的程序框图,则在空白框中应填入(  )

blob.png

A、

 i=i+1

B、

 i=i+2

C、

i=i+3

D、

 i=i+4

【答案解析】
关闭

正确答案

B


解析

模拟程序框图的运行过程知,

该程序运行后输出的是

S=N﹣T=(1﹣wps511A.tmp.jpg)+(wps511B.tmp.jpgwps511C.tmp.jpg)+…+(wps511D.tmp.jpgwps512E.tmp.jpg);

累加步长是2,则在空白处应填入i=i+2.

故选:B.

9

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E为棱CC₁的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为(  )

A、

blob.png

B、

blob.png

C、

blob.png

D、

blob.png

【答案解析】
关闭

正确答案

C


解析

以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2,

则A(2,0,0),E(0,2,1),D(0,0,0),

C(0,2,0),

wps2562.tmp.jpg=(﹣2,2,1),wps2563.tmp.jpg=(0,﹣2,0),

设异面直线AE与CD所成角为θ,

则cosθ=wps2574.tmp.jpg=wps2575.tmp.jpg=wps2576.tmp.jpg

sinθ=wps2577.tmp.jpg=wps2578.tmp.jpg

∴tanθ=wps2588.tmp.jpg

∴异面直线AE与CD所成角的正切值为wps2589.tmp.jpg

故选:C.

wps258A.tmp.jpg 

10

若ƒ(×)=cos×-sin×在[0.a]减函数,则a的最大值是(  )

A、

blob.png

B、

blob.png

C、

blob.png

D、

π

【答案解析】
关闭

正确答案

C


解析

f(x)=cosx﹣sinx=﹣(sinx﹣cosx)=﹣wps55AA.tmp.jpgsin(x﹣wps55BB.tmp.jpg),

由﹣wps55BC.tmp.jpg+2kπ≤x﹣wps55BD.tmp.jpgwps55BE.tmp.jpg+2kπ,k∈Z,

得﹣wps55CE.tmp.jpg+2kπ≤x≤wps55CF.tmp.jpg+2kπ,k∈Z,

取k=0,得f(x)的一个减区间为[﹣wps55D0.tmp.jpgwps55E1.tmp.jpg],

由f(x)在[0,a]是减函数,

得a≤wps55E2.tmp.jpg

则a的最大值是wps55E3.tmp.jpg

故选:C.

11

已知F₁, F₂是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF₁⊥PF₂,且∠PF₂wps2D2A.tmp.png=60°,则C的离心率为(  )

A、

blob.png

B、

2-wpsA74D.tmp.png

C、

blob.png

D、

blob.png

【答案解析】
关闭

正确答案

D


解析

F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,可得椭圆的焦点坐标F2(c,0),

所以P(wps1103.tmp.jpgc,wps1104.tmp.jpgc).可得:wps1114.tmp.jpg,可得wps1115.tmp.jpg,可得e4﹣8e2+4=0,e∈(0,1),

解得e=wps1116.tmp.jpg

故选:D.

wps1117.tmp.jpg

12

已知ƒ(×)是定义域为(-∞.+∞)的奇函数,满足ƒ(1-×)= ƒ(1+×).若ƒ(1)=2,则ƒ(1)+ ƒ(2)+ ƒ(3)+…+ ƒ(50)=(  )

A、

-50

B、

0

C、

2

D、

50

【答案解析】
关闭

正确答案

C


解析

∵f(x)是奇函数,且f(1﹣x)=f(1+x),

∴f(1﹣x)=f(1+x)=﹣f(x﹣1),f(0)=0,

则f(x+2)=﹣f(x),则f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),

即函数f(x)是周期为4的周期函数,

∵f(1)=2,

∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(1﹣2)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,

f(4)=f(0)=0,

则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0﹣2+0=0,

则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)

=f(1)+f(2)=2+0=2,

故选:C.

二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。)
13

曲线y=2wps7AD4.tmp.png在点(1,0)处的切线方程为             

填写答案:
【答案解析】
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正确答案

2x-y-2=0


解析

∵y=2lnx,

∴y′=wps10F0.tmp.jpg

当x=1时,y′=2

∴曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为y=2x﹣2.

14

若x,y满足约束条件wps87A.tmp.png则z=x+y的最大值为            

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【答案解析】
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正确答案

9


解析

由x,y满足约束条件wps470F.tmp.jpg作出可行域如图,

化目标函数z=x+y为y=﹣x+z,

由图可知,当直线y=﹣x+z过A时,z取得最大值,

wps4710.tmp.jpg,解得A(5,4),

目标函数有最大值,为z=9.

15

已知wps137C.tmp.png=wpsC857.tmp.png,则wpsC858.tmp.png=         

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【答案解析】
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正确答案

wps1C13.tmp.png


解析

∵tan(α﹣wps5F.tmp.jpg)=wps70.tmp.jpg

∴tan(αwps71.tmp.jpg)=wps72.tmp.jpg

则tanα=blob.png

16

已经圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°,若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为           

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正确答案


解析

圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,△SAB的面积为8,可得:wpsA962.tmp.jpg,解得SA=4,

SA与圆锥底面所成角为30°.可得圆锥的底面半径为:2wpsA973.tmp.jpg,圆锥的高为:2,

则该圆锥的体积为:V=wpsA974.tmp.jpg=8π.

三、解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22-23题为选考题。考生根据要求作答。)

(一)必考题:共60分。

17

(12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已经a1=-7,S3=-15。

(1)求{an}的通项公式;

(2)求Sn,并求Sn的最小值。

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正确答案

见解析


解析

解:(1)设{a.)的公差为d,由题意得3a1 +3d--15.由a1=-7得d=2.

所以(a}的通项公式为an=2n-9.

(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.

所以当n=4时, Sn取得最小值,最小值为-16.

18

(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图。

wps9A34.tmp.jpg 

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2……17)建立模型①:wps9A45.tmp.png=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据,(时间变量t的依次为1,2……7)建立模型②:wps9A46.tmp.png=99+17.5t。

(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由。

填写答案:
【答案解析】
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正确答案

见解析


解析

解: (1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为,


blob.png=-30.4 + 13.5x19=226.1 (亿元) .

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为,

blob.png=99 +17.5x9=256.5 (亿元).

(2)利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下:

(i)从折线图可以看出, 2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型0不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势, 2010年相对2009年的环境基础设施投资额,有明显增加, 2010年至2016年的数据对应的点位于一条真线的附近,这说明从201年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的型建立的线性模型wps9A45.tmp.png=99 +17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的,化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型0得,到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型2得到的预测值更可靠.

以上给出了2种理由,考生签出其中任意一种或其他合理理由约可得分.

19

(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2wps8357.tmp.png,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点。

 

wps8367.tmp.jpg 

(1)证明POwps8368.tmp.png平面ABC;

(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离。

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解析

解: (1)因为AP=CP=AC=4, 0为AC的中点,所以OPwps8368.tmp.pngAC. OP=wps249C.tmp.png.


连结0B.因为AB=BC=wps2525.tmp.pngAC.所以ABC为等腰直角三角形, 且OBwps8368.tmp.pngAC, OB=wps7446.tmp.pngAC=2.


由OP2+OB2=PB2知.OPwps8368.tmp.pngOB,

由OPwps8368.tmp.pngOB, OPwps8368.tmp.pngAC知POwps8368.tmp.png平面ABC.

(2)作CHwps8368.tmp.pngOM.重足为H,又由(1)可得OPwps8368.tmp.pngCH,所以CHwps8368.tmp.png平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.

由题设可知OC=wps7446.tmp.pngAC=2. CM=wpsD30A.tmp.pngBC=wps57DE.tmp.png.ACB=45.


所以OM=wps8819.tmp.png ,wps38B8.tmp.png


所以点C到平面POM的距离为wpsE4C8.tmp.png.

wps790F.tmp.jpg


20

(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB |=8。

(1)求l的方程;

(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程。

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解析

解:(1)由题意得F(1,0), l的方程为y=k(x-1)(k>0).

设A(x1,y1), B(x2,y2).

wpsEDDD.tmp.png,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0

=16k2+16>0.故x1+x2=wps6BF9.tmp.png

所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=wps229B.tmp.png


由题设知wps229B.tmp.png=8,解得k=-1 (舍去), k=1.


因此l的方程为y=x-1.

(2)山(1)得AB的中点坐标为(3.2) ,所以AB的垂直平分线方程为,y-2=-(x-3),即y=-x+5.

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则:wps22E0.tmp.png

解得wpsD8DE.tmp.png

因此所求圆的方程为,

(x-3)2 +(0-2)2=16或(x-11)2 +(y+6)2=144.

21

(12分)已知道函数wpsD83B.tmp.png(x)=wpsD828.tmp.pngx3- wpsD82A.tmp.png(x2+x+1)。

(1)若wpsD82A.tmp.png=3,求wpsD83B.tmp.png(x)的单调区间;

(2)证明:wpsD83B.tmp.png(x)只有一个零点。

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解析

解:(1)当a-3时, ƒ(x)=wpsF801.tmp.pngx3-3x2-3x-3. f,(x)=x2-6x-3.

令f(x)=0解得x=3-2wps2F54.tmp.png或x=3+2wps2F54.tmp.png.


当x∈(-∞,3-2wps2F54.tmp.png)U(3+2wps2F54.tmp.png,+∞)时, ƒ,(x)>0;

当x∈(3-2wps2F54.tmp.png,3+2wps2F54.tmp.png)时, f,(x)<0.


故/(x)在(-∞,3-2wps2F54.tmp.png), (3+2wps2F54.tmp.png,+∞)单调递增,在(3-2wps2F54.tmp.png,3+2wps2F54.tmp.png)单调递减.

(2)由于x2+x+1>0,所以ƒ(x)=0等价于wps68E4.tmp.png-3a=0

设g(x)=wps68E4.tmp.png-3a.则g'(x)=wpsCB10.tmp.png

仅当x=0时t g'(x)=0,所 (x+x+以g(x)在(-∞,+∞)单调递增,故g(x)至多有一个零点,从而ƒ(x)至多有一个零点.又ƒ(3a-1)=-6a2 +2a-wpsF801.tmp.png=-6(a-wpsE1C7.tmp.png)2-wpsE1C7.tmp.png<0, ƒ(3a+1)=wpsF801.tmp.png>0,故ƒ(x)有一零点。


综上, ƒ(x)只有一个零点。

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多选,则按所做的第一题计分。

22

选答题22

[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为wpsAD76.tmp.png,(θ为参数),直线wpsEB20.tmp.png的参数方程为wpsAD86.tmp.pngwpsEB20.tmp.png为参数)。

(1)求C和l的直角坐标方程;(4分)

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率。(6分)


选答题23

[选修4-5:不等式选讲](10分)

设函数f(x)=5-∣x+ wps2AC4.tmp.png∣-∣x-2∣。

(1)当a=1时,求不等式wps2AC5.tmp.png(x)≥0的解集;(4分)

(2)若wps2AC6.tmp.png(x)≤1,求a的取值范围。(6分)

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解析

选答题22

[选修4-4:坐标系与参数方程]

解:(1)曲线C的直角坐标方积为wps6A9.tmp.png

当cosα≠0时, 1的直角坐标方程为y=tanα∙x+2-tanα.

当cosα=0时, 1的直角坐标方程为x=1.

(2)将wpsEB20.tmp.png的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程

(1+3cos2α)t2 + 4(2cosα+sinα)t-8=0. ①

因为曲线C截直线所得线段的中点(1.2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2.则t1+t2=0.
又因①得t1+t2=wpsEB1F.tmp.png,故2cosα+sinα=0,于是直线wpsEB20.tmp.png的斜率

k=tanα=-2.


选答题23

[选修4-5:不等式选讲]

解:(1)当a=1时,,

ƒ(x)=wps7605.tmp.png

可得ƒ(x)≥20的解集为{x|-2≤x≤3}.

(2) ƒ(x)≤1等价|x+a|+|x-2|≥4.

而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立,故ƒ(x)≤1等价于|a+4|≥4.

由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]U[2,+∞).


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