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2018年高考真题 文科数学 (全国Ⅲ卷)
题数:22
总分:150
浏览数:0
上传者: CX3
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一、选择题
二、填空题
三、解答题

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一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1

已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=         

A、

{0} 

B、

{1}

C、

{1,2}

D、

{0,1,2}

【答案解析】
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正确答案

C


解析

解:∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},

∴A∩B={x|x≥1}∩{0,1,2}={1,2}.

故选:C.

2

(1+i)(2-i)=         

A、

-3-i

B、

-3+i

C、

3-i

D、

3+i

【答案解析】
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正确答案

D


解析

解:(1+i)(2﹣i)=3+i.

故选:D.

3

中国古建筑借助棒卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫棒头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是棒头。若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是         

image.png

A、

image.png

B、

image.png

C、

image.png

D、

image.png

【答案解析】
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正确答案

A


解析

解:由题意可知,如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体,是榫头,从图形看出,轮廓是长方形,内含一个长方形,并且一条边重合,另外3边是虚线,所以木构件的俯视图是A. 

故选:A.

4

若sina=image.png,则cos2a=         

A、

image.png

B、

image.png

C、

-image.png

D、

-image.png

【答案解析】
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正确答案

B


解析

解:∵sinα=image.png

∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×image.png

故选:B.

5

若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为         

A、

0.3

B、

0.4

C、

0.6

D、

0.7

【答案解析】
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正确答案

B


解析

解:某群体中的成员只用现金支付,既用现金支付也用非现金支付,不用现金支付,是互斥事件,

所以不用现金支付的概率为:1﹣0.45﹣0.15=0.4.

故选:B.

6

函数image.png的最小正周期为         

A、

image.png

B、

image.png

C、

π

D、

【答案解析】
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正确答案

C


解析

解:函数f(x)=image.pngsin2x的最小正周期为image.png=π,

故选:C.

7

下列函数中,其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的是         

A、

y=ln(1-x)

B、

y=ln(2-x)

C、

y=ln(1+x)

D、

y=ln(2+x)

【答案解析】
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正确答案

B


解析

解:首先根据函数y=lnx的图象,

则:函数y=lnx的图象与y=ln(﹣x)的图象关于y轴对称.

由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称.

则:把函数y=ln(﹣x)的图象向右平移2个单位即可得到:y=ln(2﹣x).

即所求得解析式为:y=ln(2﹣x).

故选:B.

8

直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点p在圆(x-2)³+y³=2上。则△ABP面积的取值范围是         

A、

[2,6]

B、

[4,8]

C、

image.png

D、

[2image.png

【答案解析】
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正确答案

A


解析

解:∵直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,

∴令x=0,得y=﹣2,令y=0,得x=﹣2,

∴A(﹣2,0),B(0,﹣2),|AB|=image.png

∵点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,∴设P(2+image.png),

∴点P到直线x+y+2=0的距离:

d=image.png

∵sin(image.png)∈[﹣1,1],∴d=image.png∈[image.png],

∴△ABP面积的取值范围是:

[image.png]=[2,6].

故选:A.

9

函数y=-x6+x2+2的图像大致为         

A、

image.png

B、

image.png

C、

image.png

D、

image.png

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正确答案

D


解析

解:函数过定点(0,2),排除A,B.

函数的导数f′(x)=﹣4x3+2x=﹣2x(2x2﹣1),

由f′(x)>0得2x(2x2﹣1)<0,

得x<﹣image.png或0<x<image.png,此时函数单调递增,排除C,

故选:D.

10

已知双曲线C:image.png =1(a>0,b>0)的离心率为image.png,则点(4,0)到C的渐近线的距离为         

A、

image.png

B、

2

C、

image.png

D、

image.png

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正确答案

D


解析

解:双曲线C:image.png=1(a>0,b>0)的离心率为image.png

可得image.png,即:image.png,解得a=b,

双曲线C:image.png=1(a>b>0)的渐近线方程玩:y=±x,

点(4,0)到C的渐近线的距离为:image.png

故选:D.

11

△ABC的内角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为image.png,则C=         

A、

image.png

B、

image.png

C、

image.png

D、

image.png

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正确答案

C


解析

解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

△ABC的面积为image.png

∴S△ABC=image.png

∴sinC=image.png=cosC,

∵0<C<π,∴C=image.png

故选:C.

12

设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为image.png,则三棱锥D-ABC体积的最大值为         

A、

12image.png

B、

18image.png

C、

24image.png

D、

54image.png

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正确答案

B


解析

解:△ABC为等边三角形且面积为9image.png,可得image.png,解得AB=6,

球心为O,三角形ABC 的外心为O′,显然D在O′O的延长线与球的交点如图:

O′C=image.png,OO′=image.png=2,

则三棱锥D﹣ABC高的最大值为:6,

则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为:image.png

故选:B.

image.png

二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13

已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,r),若c//(2a+b),则λ=                   

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正确答案

image.png


解析

解:∵向量image.png=(1,2),image.png=(2,﹣2),

image.png=(4,2),

image.png=(1,λ),image.png∥(2image.png+image.png),

image.png

解得λ=image.png

14

某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样检查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是           

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正确答案

分成抽样


解析

解:某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是分层抽样.

15

若变量x、y满足约束条件image.png,则z=x+image.pngy的最大值是             

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3


解析

解:画出变量x,y满足约束条件image.png表示的平面区域如图:由image.png解得A(2,3).

z=x+image.pngy变形为y=﹣3x+3z,作出目标函数对应的直线,

当直线过A(2,3)时,直线的纵截距最小,z最大,

最大值为2+3×image.png=3,

image.png

16

已知函数f(x)=ln(image.png-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=           

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正确答案

-2


解析

解:函数g(x)=ln(image.png﹣x)

满足g(﹣x)=ln(image.png+x)=image.png=﹣ln(image.png﹣x)=﹣g(x),

所以g(x)是奇函数.

函数f(x)=ln(image.png﹣x)+1,f(a)=4,

可得f(a)=4=ln(image.png﹣a)+1,可得ln(image.png﹣a)=3,

则f(﹣a)=﹣ln(image.png﹣a)+1=﹣3+1=﹣2.

三、解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题为选考题,考生根据要求作答)
17

(12分)等比数列{an}中,a2=1,a3=4a3

(1)求{an}的递项公式;(4分)

(2)记Sm为{an}的前n项和,若Sm=63,求m。(8分)

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正确答案

(1)an=2n-1an=(-2)n-1

(2)m=6


解析

(1)∵a2=1,a3=4a3

∴q4=4q2

∴q=±2

∴an=2n-1an=(-2)n-1

(2)①当q=2时,Sm=image.png=63

∴2m=64

∴m=6

②当q=-2时,Sm=image.png=63

∴(-2)m=-188

∴m无解

综上所述,m=6

18

(12分)某工厂为提高生活效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:

image.png

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(3分)

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表。(4分)

image.png

(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?(5分)

附:

image.pngimage.png

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解析

(1)第二种生产方式效率更高,因为第二组多数数据集中在70min~80min之间,第一组多数数据集中在80min~90min之间,所以第一组完成任务平均时间大于第二组,E1=image.png84,E2=image.png=74.7;

∴E1>E2,则第二种生产方式效率更高。

(2)中位数m=image.png=80

image.png

(3)

k2=image.png=10>6.635

∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异

19

(12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧image.png所在平面垂直,M是image.png上异于C,D的点。

image.png

(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(7分)

(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由。(5分)

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解析

(1)由图矩形ABCD所在平面与圆弧image.png所在平面垂直,平面ABCD∩平面DMC=CD

∵AD⊥DC

∴AD⊥平面CDM,CM∈平面CDM

∴AD⊥CM

又∵M在image.png上,image.png为半圆弧

∴DM⊥MC

又∵DM∩DA=D

∴CM⊥平面ADM

又CM∈平面BCM

∴平面AMD⊥平面BMC

(2)存在D为线段AM的中点使得MC∥平面PDM,

连接AC,BD相较于O,连接PO

∵ABCD为矩形

∴O为AC中点

∵PO∥MC

又MC∉平面PBD

PO∈平面PBD

∴MC∥平面PBD

image.png

20

(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:image.png=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0)。

(1)证明:k<image.png;(6分)

(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且image.png+image.png+image.png=0,证明:2∣image.png∣=∣image.png∣+∣image.png∣。(6分)

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解析

(1)证明:设直线l的方程为y-m=k(x-1)

联立image.png

得(3+4k2)x2+(8mk-8k2)x+4m2-8mk+4k2-12=0

∵直线l与椭圆C交于A,B两点

∴方程有两个不等于0的实数根

∴△=(8mk-8k2)-4(3+4k2)(4m2-8mk+4k2-12)>0

∴3k2+2mk-m2+3>0    ①

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

x1+x2=-image.png=2

∴m=-image.png

将-image.png代入①得48k4+24k2-9>0

∴(12k2-3)(4k2+3)>0

∴k2>image.png

所以k>image.png或k<-image.png

∵AB中点M坐标为(1,m)

∴k<-image.png

(2)证明

image.png

image.png

image.png

∵F(1,0),M(1,m)

∴P点横坐标为1

∵P点在C上

∴Py=image.png

∴P(1,image.png)

∴∣image.png∣=image.png

∵∣image.png∣+∣image.png∣=image.png=image.png

又x1<4,x2<4

∴∣image.png∣+∣image.png∣=image.png=3

∴2∣image.png∣=∣image.png∣+∣image.png

21

(12分)已知函数f(x)=image.png

(1)求曲线y= f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(5分)

(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0。(7分)

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解析

(1)*f(x)定义域为R,f'(x)=image.png

∴f'(x)=image.png

∴f'(0)=image.png=2,f(0)=image.png=-1

故所求为y=f'(0)(x-0)+f(0)=2x-1

(2)f(x)+e≥0image.pngimage.png≥0image.pngax2+x-1+ex+1≥0

令g(x)=x2+x-1+ex+1(x∈R)

g'(x)=2x+1+ex+1,g'(-1)=-2+1+ex+1=-1+1=0

当x<-1时,g'(x)<0,当x>-1时,g'(x)>0

∵g(x)在R上增

∴g(x)在(-∞,-1]上减,在[-1,+∞)上增

g(x)min=g(-1)=(-1)2+(-1)-1+e-1+1=1-1-1+1=0

∴∀x∈R,有g(x)≥0

当a≥1时,又x2≥0,

∴ax2≥x2

∴ax2+x-1+ex+1≥x2+x-1+ex+1=g(x)≥0

即*成立

综上,当a≥1时,f(x)+e≥0

22

请考生从两道选修题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一题计分。

[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为image.png(θ为参数),过点(0,-image.png)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A、B两点。

(1)求α的取值范围;(4分)

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程。(6分)



[选修4-5:不等式选讲](10分)

设函数f(x)=∣2x+1∣-∣x-1∣。

(1) 画出y= f(x)的图像;(4分)

(2)当x∈[0,-∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值。(6分)

image.png

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解析

[选修4-4:坐标系与参数方程]

(1)当α=image.png时,l的方程:x=0.

圆的普通方程:x2+y2=1,此时l与圆显然交于两点

当α≠image.png,设l斜率为l,l方程为y+image.png=kx,即kx-y-2=0

∵圆方程为x2+y2=1,∴半径为1,l与圆交于1两点

∴圆心(0,0)到直线l的距离d<1

d=image.png<1,解得k>1或k<1

∴α∈(image.pngimage.png)∪(image.pngimage.png

综上,α∈(image.pngimage.png

(2)由(1)知,l斜率不为0,设l方程为x=m(y+image.png)

设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3

image.png

(m2+1)y2+2image.pngm2y+2m2-1=0

image.png

x1+x2=m(y1+image.png)m(y2+image.png)=-image.png

x3=image.png,y3=image.png

即P的参数方程为image.png(m为参数,-1<m<1)



[选修4-5:不等式选讲]

(1)

image.png

image.png

image.png

(2)当x=0时,f(0)≤a·0+b

∴b≥2

当x≥0时,f(x)-ax-b≤0,

3x-ax-b≤0

ax≥3x≥-b

a≥3-image.png

∵y=3-image.png递增且b≥2

∴3-image.png<3

∴a≥3

∴a+b≥3+2=5,且当a=3,b=2时,满足题意


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