HAOMOOC首页
全站导航
打印
2018年高考真题 理科数学(全国l卷)
题数:22
总分:150
浏览数:0
上传者: CX5
用时 120:00
|| 暂停
一、选择题
二、填空题
三、必考题
四、选考题

纠错请加微信: M688888 反馈 ( 采纳有奖)
一、选择题(本题有12小题,每小题5分,共60分。)
1

设z=image.png+2i,则|z|=              .

A、

0

B、

image.png

C、

1

D、

image.png

【答案解析】
关闭

正确答案

C


解析

解:z=image.png+2i=image.png+2i=﹣i+2i=i,

则|z|=1.

故选:C.

2

已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA=            .

A、

{x|-1<x<2}

B、

{x|-1≤x≤2}

C、

{x|x<-1}∪{x|x>2}

D、

{x|x≤-1}∪{x|x≥2}

【答案解析】
关闭

正确答案

B


解析

解:集合A={x|x2﹣x﹣2>0},

可得A={x|x<﹣1或x>2},

则:∁RA={x|﹣1≤x≤2}.

故选:B.

3

某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:

image.png

则下面结论中不正确的是:            .

A、

新农村建设后,种植收入减少。

B、

新农村建设后,其他收入增加了一倍以上。

C、

新农村建设后,养殖收入增加了一倍。

D、

新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案解析】
关闭

正确答案

A


解析

解:设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.

A项,种植收入37×2a﹣60%a=14%a>0,

故建设后,种植收入增加,故A项错误.

B项,建设后,其他收入为5%×2a=10%a,

建设前,其他收入为4%a,

故10%a÷4%a=2.5>2,

故B项正确.

C项,建设后,养殖收入为30%×2a=60%a,

建设前,养殖收入为30%a,

故60%a÷30%a=2,

故C项正确.

D项,建设后,养殖收入与第三产业收入总和为

(30%+28%)×2a=58%×2a,

经济收入为2a,

故(58%×2a)÷2a=58%>50%,

故D项正确.

因为是选择不正确的一项,

故选:A.

4

记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=           .

A、

-12

B、

-10

C、

10

D、

12

【答案解析】
关闭

正确答案

B


解析

解:∵Sn为等差数列{an}的前n项和,3S3=S2+S4,a1=2,

image.png=a1+a1+d+4a1+image.pngd,

把a1=2,代入得d=﹣3

∴a5=2+4×(﹣3)=﹣10.

故选:B.

5

设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:                .

A、

y=-2x

B、

y=-x

C、

y=2x

D、

y=x

【答案解析】
关闭

正确答案

D


解析

解:函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax,若f(x)为奇函数,

可得a=1,所以函数f(x)=x3+x,可得f′(x)=3x2+1,

曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为:1,

则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:y=x.

故选:D.

6

image.pngABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则image.png=             .

A、

image.png-image.png-image.pngimage.png

B、

image.png-image.png-image.pngimage.png

C、

image.png-image.png+image.pngimage.png

D、

image.png-image.png+image.pngimage.png

【答案解析】
关闭

正确答案

A


解析

解:在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,

image.png=image.pngimage.png=image.pngimage.pngimage.png

=image.pngimage.png×image.pngimage.png+image.png

=image.pngimage.pngimage.pngimage.png

故选:A.

7

某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为           .

image.png

A、

image.png

B、

image.png

C、

3

D、

2

【答案解析】
关闭

正确答案

B


解析

解:由题意可知几何体是圆柱,底面周长16,高为:2,

直观图以及侧面展开图如图:

image.png

圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度:image.png=2image.png

故选:B.

8

设抛物线C:y²=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为image.png的直线与C交于M,N两点,则image.pngimage.png=            .

A、

5

B、

6

C、

7

D、

8

【答案解析】
关闭

正确答案

D


解析

解:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),过点(﹣2,0)且斜率为image.png的直线为:3y=2x+4,

联立直线与抛物线C:y2=4x,消去x可得:y2﹣6y+8=0,

解得y1=2,y2=4,不妨M(1,2),N(4,4),image.pngimage.png

image.pngimage.png=(0,2)•(3,4)=8.

故选:D.

9

已知函数f(x)=image.pngg(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是                .

A、

[-1,0)

B、

[0,+∞)

C、

[-1,+∞)

D、

[1,+∞)

【答案解析】
关闭

正确答案

C


解析

解:由g(x)=0得f(x)=﹣x﹣a,

作出函数f(x)和y=﹣x﹣a的图象如图:

当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1,即a≥﹣1时,两个函数的图象都有2个交点,

即函数g(x)存在2个零点,

故实数a的取值范围是[﹣1,+∞),

故选:C.

image.png

10

下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则            .

image.png


A、

p1=p2

B、

p1=p3

C、

p2=p3

D、

p1=p2+p3

【答案解析】
关闭

正确答案

A


解析

解:如图:设BC=a,AB=c,AC=b,

∴a2=b2+c2

∴S=image.png×4bc=2bc,S=image.png×πa2﹣2bc,

S=image.png×πc2+image.png×πb2﹣S=image.png×πc2+image.png×πb2image.png×πa2+2bc=2bc,

∴S=S

∴P1=P2

故选:A.

11

已知双曲线C:image.png -y²=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N. 若△OMN为直角三角形,则∣MN∣=             .

A、

image.png

B、

3

C、

image.png

D、

4

【答案解析】
关闭

正确答案

B


解析

解:双曲线C:image.png﹣y2=1的渐近线方程为:y=image.png,渐近线的夹角为:60°,不妨设过F(2,0)的直线为:y=image.png

则:image.png解得M(image.pngimage.png),

image.png解得:N(image.png),

则|MN|=image.png=3.

故选:B.

12

已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为             ,

A、

image.png

B、

image.png

C、

image.png

D、

image.png

【答案解析】
关闭

正确答案

A


解析

解:正方体的所有棱中,实际上是3组平行的棱,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,如图:所示的正六边形平行的平面,并且正六边形时,α截此正方体所得截面面积的最大,

此时正六边形的边长image.png明明就的最大值为:6×image.png=image.png

故选:A.

image.png

二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。)
13

若x,y满足约束条件image.png则z=3x+2y的最大值为              .

填写答案:
【答案解析】
关闭

正确答案

6


解析

解:作出不等式组对应的平面区域如图:

由z=3x+2y得y=﹣image.pngx+image.pngz,

平移直线y=﹣image.pngx+image.pngz,

由图象知当直线y=﹣image.pngx+image.pngz经过点A(2,0)时,直线的截距最大,此时z最大,

最大值为z=3×2=6

image.png 

14

记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=           .

填写答案:
【答案解析】
关闭

正确答案

﹣63


解析

解:Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2an+1,①

当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=﹣1,

当n≥2时,Sn﹣1=2an1+1,②,

由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1

∴an=2an﹣1

∴{an}是以﹣1为首项,以2为公比的等比数列,

∴S6=image.png=﹣63

15

从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有            种.(用数字填写答案)

填写答案:
【答案解析】
关闭

正确答案

16


解析

解:方法一:直接法,1女2男,有C21C42=12,2女1男,有C22C41=4

根据分类计数原理可得,共有12+4=16种,

方法二,间接法:C63﹣C43=20﹣4=16种

16

已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是          .

填写答案:
【答案解析】
关闭

正确答案

image.png


解析

解:由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期,

故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x在[0,2π)上的值域,

先来求该函数在[0,2π)上的极值点,

求导数可得f′(x)=2cosx+2cos2x

=2cosx+2(2cos2x﹣1)=2(2cosx﹣1)(cosx+1),

令f′(x)=0可解得cosx=image.png或cosx=﹣1,

可得此时x=image.png,π或 image.png

∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=image.png,π或 image.png和边界点x=0中取到,

计算可得f( image.png)=image.png,f(π)=0,f( image.png)=﹣image.png,f(0)=0,

∴函数的最小值为﹣image.png

三、必考题(共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个小题考生都必须作答。)
17

(12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.

(1)求cos∠ADB;

(2)若DC=image.png,求BC.

填写答案:
【答案解析】
关闭

正确答案

见解析


解析

解:(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.

∴由正弦定理得:image.png=image.png,即image.png=image.png

∴sin∠ADB=image.png=image.png

∵AB<BD,∴∠ADB<∠A,

∴cos∠ADB=image.png=image.png

(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB=image.png

∵DC=2image.png

∴BC=image.png

=image.png=5.

image.png 

18

(12分)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把∆DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BP.

image.png

(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

填写答案:
【答案解析】
关闭

正确答案

见解析


解析

解:(1)四边形ABCD为正方形,E、F分别为AD、BC的中点

则EF∥AB,所以EF⊥BF

又因为PF⊥BF,EF与PF相交于F,

所以BF⊥面PEF,

又因为BF⊂面ABFD,

所以平面PEF⊥平面ABFD             ---------------------(4分)

(2)过P点做PQ⊥EF 

因为平面PEF⊥平面ABFD,平面PEF∩平面ABFD=EF,

所以PQ⊥面ABFD

所以∠PDQ为PD与平面ABFD的夹角   ---------------------(6分)

设正方形ABCD的边长为2,PD=2PF=1,ED=1.

因为ED⊥EF,EF为平面PEF与平面ABCD的交线,则ED⊥面PEF

所以 ED⊥PE ,PE=image.png

设QF=x,则EQ=2-x,

image.png2-(2-x)2=1-x2,则x=image.png , PQ=image.png  ,  ---------------------(10分)

所以sin∠PDQ= image.png =image.png=image.png.

因此DP与平面ABFD所成角的正弦值为image.png .  ---------------------(12分)

image.png

19

(12分)设椭圆C:image.png +y²=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).

(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;

(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.

填写答案:
【答案解析】
关闭

正确答案

见解析


解析

解:(1)c=image.png=1,

∴F(1,0),

∵l与x轴垂直,

∴x=1,

image.png,解得image.pngimage.png

∴A(1.image.png),或(1,﹣image.png),

∴直线AM的方程为y=﹣image.pngx+image.png,y=image.pngx﹣image.png

证明:(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,

当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,∴∠OMA=∠OMB,

当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x﹣1),k≠0,

A(x1,y1),B(x2,y2),则x1image.png,x2image.png

直线MA,MB的斜率之和为kMA,kMB之和为kMA+kMB=image.png+image.png

由y1=kx1﹣k,y2=kx2﹣k得kMA+kMB=image.png

将y=k(x﹣1)代入image.png+y2=1可得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,

∴x1+x2=image.png,x1x2=image.png

∴2kx1x2﹣3k(x1+x2)+4k=image.png(4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4k)=0

从而kMA+kMB=0,

故MA,MB的倾斜角互补,

∴∠OMA=∠OMB,

综上∠OMA=∠OMB.

20

(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件产品作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验,设每件产品为不合格品的概率都为P(0<P<1),且各件产品是否为不合格品相互独立。 

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(P),求f(P)的最大值点P0。 

(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的P0作为P的值,已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX,

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?

填写答案:
【答案解析】
关闭

正确答案

见解析


解析

解:(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),

则f(p)=image.png

image.png=image.png

令f′(p)=0,得p=0.1,

当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0,

当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0,

∴f (p)的最大值点p0=0.1.

(2)(i)由(1)知p=0.1,

令Y表示余下的180件产品中的不合格品数,依题意知Y~B(180,0.1),

X=20×2+25Y,即X=40+25Y,

∴E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490.

(ii)如果对余下的产品作检验,由这一箱产品所需要的检验费为400元,

∵E(X)=490>400,

∴应该对余下的产品进行检验.

21

(12分)已知函数f(x)= image.png﹣x+alnx.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)存在两个极值点x1 , x2 , 证明:image.png<a﹣2.

填写答案:
【答案解析】
关闭

正确答案

见解析


解析

解:(1)函数的定义域为(0,+∞),

函数的导数f′(x)=﹣image.png﹣1+image.png=﹣image.png

设g(x)=x2﹣ax+1,

当a≤0时,g(x)>0恒成立,即f′(x)<0恒成立,此时函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,

当a>0时,判别式△=a2﹣4,

①当0<a≤4时,△≤0,即g(x)>0,即f′(x)<0恒成立,此时函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,

②当a>2时,x,f′(x),f(x)的变化如下表:

image.png

综上当a≤2时,f(x)在(0,+∞)上是减函数,

当a>2时,在(0,image.png),和(image.png,+∞)上是减函数,

则(image.pngimage.png)上是增函数.

(2)由(1)知a>2,0<x1<1<x2,x1x2=1,

则f(x1)﹣f(x2)=(x2﹣x1)(1+image.png)+a(lnx1﹣lnx2)=2(x2﹣x1)+a(lnx1﹣lnx2),

image.png=﹣2+image.png

则问题转为证明image.png<1即可,

即证明lnx1﹣lnx2>x1﹣x2

即证2lnx1>x1image.png在(0,1)上恒成立,

设h(x)=2lnx﹣x+image.png,(0<x<1),其中h(1)=0,

求导得h′(x)=image.png﹣1﹣image.png=﹣image.png=﹣image.png<0,

则h(x)在(0,1)上单调递减,

∴h(x)>h(1),即2lnx﹣x+image.png>0,

故2lnx>x﹣image.png

image.png<a﹣2成立.

四、选考题(共10分、前考生在22和23道题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 )
22

选答题22

[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为p²+2pcosθ-3=0.

(1)求C2的直角坐标方程:

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.


选答题23

[选修4-5:不等式选讲](10分)

已知f(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣.

(1)当a=1时,  求不等式f(x)>1的解集;

(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.

填写答案:
【答案解析】
关闭

正确答案

见解析


解析

选答题22

解:(1)曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0.

转换为直角坐标方程为:x2+y2+2x﹣3=0,

转换为标准式为:(x+1)2+y2=4.

(2)由于曲线C1的方程为y=k|x|+2,则:该直线关于y轴对称,且恒过定点(0,2).

由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.

所以:必有一直线相切,一直线相交.

则:圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2.

故:image.png

解得:k=image.png或0,(0舍去)

故C1的方程为:image.png



选答题23

解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|=image.png

由f(x)>1,

image.pngimage.png

解得x>image.png

故不等式f(x)>1的解集为(image.png,+∞),

(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,

∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x>0,

即x+1﹣|ax﹣1|﹣x>0,

即|ax﹣1|<1,

∴﹣1<ax﹣1<1,

∴0<ax<2,

∵x∈(0,1),

∴a>0,

∴0<x<image.png

∴a<image.png

image.png>2,

∴0<a≤2,

故a的取值范围为(0,2].


答案解析
考试时间到
继续答题
返回评分
请确认
主观题 需查看解析后自行评分
继续交卷
返回做题
请确认
你还有主观题没评分
查看成绩
返回评分
考试结果
你本次得分:
再考一次
返回试卷
提示
返回试卷
今日已学习