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2020年高考真题 文科数学 (全国Ⅲ卷)
题数:22
总分:150
浏览数:0
上传者: X18
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一、选择题
二、填空题
三、解答题

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一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1

已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},则A∩B中元素的个数为(  )

A、

2

B、

3

C、

4

D、

5

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2

image.png=(1+i)=1-i,则z=( )

A、

1-i

B、

1+i

C、

-i

D、

i

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3

设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为(  )

A、

0.01

B、

0.1

C、

1

D、

10

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4

Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=image.png,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(  )(ln19≈3)

A、

60

B、

63

C、

66

D、

69

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5

已知sinθ+sin(θ+image.png)=1,则sin(θ+image.png)=(  )

A、

image.png

B、

image.png

C、

image.png

D、

image.png

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6

在平面内,A,B是两个定点,C是动点,若image.png·image.png=1,则点C的轨迹为(  )

A、

B、

椭圆

C、

抛物线

D、

直线

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7

设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为(  )

A、

(image.png,0)

B、

(image.png,0)

C、

(1,0)

D、

(2,0)

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8

点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(  )

A、

1

B、

image.png

C、

image.png

D、

2

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9

如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是(  )

image.png

A、

6+4image.png

B、

4+4image.png

C、

6+2image.png

D、

4+2image.png

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10

设a=log32,b=log53,c=image.png,则(  )

A、

a<c<b

B、

a<b<c

C、

b<c<a

D、

c<a<b

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11

在△ABC中,cosC=image.png,AC=4,BC=3,则tanB=( )

A、

image.png

B、

2image.png

C、

4image.png

D、

8image.png

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12

已知函数f(x)=sinx+image.png,则(  )

A、

f(x)的最小值为2

B、

f(x)的图像关于y轴对称

C、

f(x)的图像关于直线x=π对称

D、

f(x)的图像关于直线x=image.png对称

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二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。)
13

若x,y满足约束条件image.png,则z=3x+2y的最大值为          .

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14

设双曲线C:image.png-image.png=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=image.pngx,则C的离心率为           .

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15

设函数f(x)=image.png,若f'(1)=image.png,则a=               .

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16

已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的切球表面积为           

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三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17

(12分)设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.


(1)求{an}的通项公式;

(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1═Sm+3,求m.

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18

(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):

image.png

(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;

(2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

(3) 若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”。根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?

image.png

附:K2=image.pngimage.png

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19

(12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1,证明:

 image.png

(1) 当AB=BC时,EF⊥AC;

(2) 点C1在平面AEF内.

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20

(12分)已知函数f(x)=x3-kx+k2


(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.

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21

(12分)已知椭圆C:image.png+image.png(0<m<5)的离心率为image.png,A,B分别为C的左、右顶点.

(1) 求C的方程:

(2) 若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积. 

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22

选考题:共10分,请考生在第A、B题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

A. [选修4—4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为image.png(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A,B两点.

(1)求|AB|;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.

 

 

B.[选修4—5:不等式选讲](10分)

设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.

(1) 证明:ab+bc+ca<0;

(2) 用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥image.png.

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